TOÁN 8 · TỨ GIÁC VÀ CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT
Hình thang cân: tính chất và dấu hiệu nhận biết – Toán 8
Một mái nhà cân đối gợi hình thang cân. Trong bài toán, sự cân đối được xác nhận bằng góc ở cùng một đáy hoặc hai đường chéo.
Nhận biết hình thang cân; tính góc, cạnh; chọn đúng dấu hiệu chứng minh.
Kiến thức cần nhớ: Tứ giác và hai đường thẳng song song.
Nhìn hình để hiểu
Định nghĩa
Hình thang là tứ giác có một cặp cạnh đối song song. Hình thang cân là hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau. Với AB ∥ CD, AB và CD là đáy; AD, BC là cạnh bên. Quy ước hình thang có ít nhất một cặp cạnh đối song song được dùng ở đây.
Tính chất
Hình thang cân có hai cạnh bên bằng nhau và hai đường chéo bằng nhau. Hai góc kề một cạnh bên bù nhau vì hai đáy song song. Ví dụ góc A = 110° thì góc B = 110°, góc C = góc D = 70°.
Dấu hiệu và bẫy
Một hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. Không lấy riêng hai cạnh bên bằng nhau làm dấu hiệu trong quy ước bao gồm hình bình hành: hình bình hành xiên có hai cạnh bên bằng nhau nhưng không có hai góc kề đáy bằng nhau.
Ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1
ABCD là hình thang cân, AB ∥ CD, góc D = 65°. Tìm các góc còn lại.
- Hai góc kề đáy CD bằng nhau: C = D = 65°.
- A + D = 180° nên A = 115°.
- B = A = 115°.
Ví dụ 2
ABCD có AB ∥ CD và AC = BD. Chứng minh AD = BC.
- AB ∥ CD nên ABCD là hình thang.
- Hình thang có hai đường chéo bằng nhau nên là hình thang cân.
- Theo tính chất hình thang cân, AD = BC.
Lỗi thường gặp
- Phải xác nhận là hình thang trước khi dùng dấu hiệu đường chéo bằng nhau.
- Không nhầm hai góc kề một đáy với hai góc kề một cạnh bên.
Em tự thử trước khi mở lời giải
Trong hình thang cân ABCD với AB ∥ CD, đẳng thức nào luôn đúng?
Xem giải thích
Hai đường chéo hình thang cân bằng nhau. Các khẳng định còn lại không đúng với mọi hình thang cân.
Câu 2 · Trả lời ngắn
Hình thang cân có một góc ở đáy dưới bằng 72°. Góc kề cạnh bên ở đáy trên bằng bao nhiêu độ?
Xem lời giải sau khi tự làm
Hai góc trong cùng phía giữa hai đáy song song bù nhau: 180 − 72 = 108°.
Câu 3 · Tự luận
Hình thang cân có hai đáy 6 cm, 14 cm và cạnh bên 5 cm. Tính chu vi.
Xem lời giải sau khi tự làm
Hai cạnh bên bằng nhau nên P = 6 + 14 + 5 + 5 = 30 cm.
Câu 4 · Tự luận
Cho AB ∥ CD và góc A = góc B. Chứng minh AC = BD.
Xem lời giải sau khi tự làm
ABCD là hình thang có hai góc kề đáy AB bằng nhau nên là hình thang cân. Vì vậy hai đường chéo AC, BD bằng nhau.
Câu 5 · Tự luận
Một tứ giác có AC = BD. Có thể kết luận ngay là hình thang cân không?
Xem lời giải sau khi tự làm
Không. Điều kiện hai đường chéo bằng nhau chỉ là dấu hiệu hình thang cân khi đã biết tứ giác là hình thang. Cần thêm một cặp cạnh đối song song.
Sơ đồ ghi nhớ
- Hai đáy song song.
- Góc cùng đáy bằng nhau.
- Hai cạnh bên bằng nhau.
- Hai đường chéo bằng nhau.
Luyện tập và học tiếp
Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.