Toán 11 Bài 20: Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hàm số mũ và hàm số lôgarit – Toán 11 Bài 20 – Gia Sư SV

Hai hàm $y = a^{x}$ và $y = \log_{a} x$ mô tả hai chiều của cùng một quan hệ. Đọc đúng miền xác định, chiều biến thiên và điểm đặc biệt giúp giải phương trình nhanh hơn.

Mục tiêu: Nhận dạng hai hàm; xác định miền và chiều biến thiên; đọc đồ thị, mô hình hóa tăng trưởng.

Kiến thức nền: lũy thừa, phương trình và bất phương trình cơ bản.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Hàm số mũ

Với $a > 0$ , $a \neq 1$ , hàm $y = a^{x}$ xác định trên $R$ , nhận giá trị trong $(0; + \infty)$ , đi qua $(0; 1)$ và $(1; a)$ . Khi $a > 1$ , hàm đồng biến; khi $0 < a < 1$ , hàm nghịch biến. Hàm liên tục trên $R$ . Đồ thị luôn ở phía trên trục hoành.

Hàm số lôgarit

Hàm $y = \log_{a} x$ có miền xác định $(0; + \infty)$ , tập giá trị $R$ , đi qua $(1; 0)$ và $(a; 1)$ . Chiều biến thiên cùng quy tắc với hàm mũ: tăng nếu $a > 1$ , giảm nếu $0 < a < 1$ . Hàm liên tục trên miền xác định.

Ghi nhớ: đọc đồ thị và đổi vai trò

Nếu $(u; v)$ nằm trên đồ thị $y = a^{x}$ thì $(v; u)$ nằm trên đồ thị $y = \log_{a} x$ . Vì vậy hai đồ thị đối xứng qua đường $y = x$ . Khi xét hàm dạng $\log_{a} g (x)$ , phải giải điều kiện $g (x) > 0$ trước. Một giá trị âm của lôgarit không có nghĩa đối số âm.

Hai đồ thị dùng cùng tỉ lệ hai trục. Hàm mũ đi qua (0;1); hàm lôgarit đi qua (1;0).

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Tập xác định

Tìm miền xác định của $y = \log_{2} (3 - x)$ .

Điều kiện $3 - x > 0$ .
Suy ra $x < 3$ , nên $D = (- \infty; 3)$ .

Ví dụ 2. So sánh bằng chiều biến thiên

So sánh $\log_{1 / 2} 3$ và $\log_{1 / 2} 5$ .

Cơ số $1 / 2$ thuộc $(0; 1)$ nên hàm nghịch biến.
Vì $3 < 5$ , ta có $\log_{1 / 2} 3 > \log_{1 / 2} 5$ .

Ví dụ 3. Đọc một mô hình

Nhiệt độ chênh so với môi trường là $T (t) = 40 \cdot (0, 8)^{t}$ (°C), với $t$ tính bằng phút. Tính $T (2)$ và nhận xét.

$T (2) = 40 \cdot 0, 64 = 25, 6$ °C.
Mỗi phút chênh lệch còn 80% mức trước; mô hình giảm dần nhưng luôn dương.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không nhầm miền xác định với tập giá trị.
Hàm mũ cơ số hợp lệ luôn dương.
Cơ số nhỏ hơn 1 làm đảo chiều so sánh.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Cho $f (x) = 2^{x}$ . Tính $f (1)$ .

Xem lời giải

Thay $x = 1$ : $f (1) = 2^{1} = 2$ .

Bài tự luyện 2

Cho $f (x) = 2^{x}$ . Tính $f (2)$ .

Xem lời giải

Thay $x = 2$ : $f (2) = 2^{2} = 4$ .

Bài tự luyện 3

Cho $f (x) = 2^{x}$ . Tính $f (3)$ .

Xem lời giải

Thay $x = 3$ : $f (3) = 2^{3} = 8$ .

Bài tự luyện 4

Cho $f (x) = 2^{x}$ . Tính $f (4)$ .

Xem lời giải

Thay $x = 4$ : $f (4) = 2^{4} = 16$ .

Bài tự luyện 5

Tìm miền xác định của $y = \log_{2} (x^{2} - 4)$ .

Xem lời giải

Cần $x^{2} - 4 > 0$ , tương đương $(x - 2) (x + 2) > 0$ . Suy ra $x < - 2$ hoặc $x > 2$ . Hai đầu mút bị loại vì đối số bằng 0.

Bài tự luyện 6

Một chất có khối lượng $m (t) = 160 (1 / 2)^{t / 3}$ gam. Tính khối lượng sau 6 giờ và giải thích số 3.

Xem lời giải

$m (6) = 160 (1 / 2)^{2} = 40$ gam. Số 3 cho biết sau mỗi 3 giờ khối lượng giảm còn một nửa theo mô hình.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.