Toán 11 – Chương 2 – Dãy số

Mục tiêu và kiến thức nền

Hiểu số hạng tổng quát, tính số hạng, xét tăng giảm và bị chặn. Cần biết hàm số, bất đẳng thức và quy tắc biến đổi phân thức.

Dãy số và cách cho

Dãy số vô hạn là hàm số xác định trên các số nguyên dương; ký hiệu (uₙ), số hạng thứ n là uₙ. Dãy hữu hạn có chỉ số trong {1,…,N}. Phân biệt n là vị trí, uₙ là giá trị; uₙ₊₁ là số hạng kế tiếp, còn uₙ+1 là giá trị uₙ cộng 1.

Dãy có thể cho bằng công thức tường minh uₙ=f(n), bằng truy hồi với số hạng đầu và quy tắc tính số hạng sau, hoặc bằng mô tả. Với truy hồi, phải dùng đủ điều kiện ban đầu; không coi vài số hạng đầu là bằng chứng duy nhất cho công thức tổng quát.

Tăng giảm và bị chặn

Dãy tăng khi uₙ₊₁>uₙ với mọi n; giảm khi uₙ₊₁<uₙ. Nếu thay bằng ≥ hoặc ≤ thì gọi không giảm hoặc không tăng. Phương pháp hiệu: xét Δₙ=uₙ₊₁−uₙ. Phương pháp thương chỉ dùng khi uₙ>0 cho mọi n: thương >1 suy ra tăng, <1 suy ra giảm. Nếu số hạng âm hoặc đổi dấu, không áp dụng máy móc tiêu chuẩn thương.

Dãy bị chặn trên khi tồn tại M sao cho uₙ≤M với mọi n; bị chặn dưới khi tồn tại m sao cho uₙ≥m. Bị chặn nghĩa là đồng thời có cả hai. Cận không nhất thiết là một số hạng và không nhất thiết là cận tốt nhất. Dãy tăng không tự động bị chặn; dãy bị chặn không tự động tăng hoặc giảm.

Cách xử lý

Tính số hạng: thay đúng n hoặc lần lượt dùng truy hồi. Tìm vị trí của giá trị a: giải uₙ=a rồi chỉ giữ nghiệm n nguyên dương trong phạm vi dãy. Xét đơn điệu: quy đồng hiệu, phân tích dấu từng nhân tử với n≥1. Xét bị chặn: dùng n≥1, tính không âm của bình phương hoặc so sánh phân thức để tìm hai cận không phụ thuộc n. Muốn chứng minh công thức truy hồi cho mọi n, dùng quy nạp khi phù hợp: kiểm n=1, giả sử đúng ở n, suy ra n+1.

Ghi nhớ

Quan sát vài số hạng giúp dự đoán, không thay chứng minh cho toàn dãy. Truy hồi có mẫu phải bảo đảm mẫu khác 0 ở mỗi bước. Nếu dãy mô tả thời gian/chi phí, n không có đơn vị nhưng uₙ mang đơn vị của đại lượng được đo.

Luyện tập bài này

• Dãy số

Toán 11 – Chương 2 – Cấp số cộng

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết lượng tăng đều, xác định số hạng và tổng hữu hạn, mô hình hóa bài toán theo thời điểm. Cần biết dãy số và phương trình bậc nhất.

Định nghĩa và công thức

Cấp số cộng là dãy thỏa uₙ₊₁=uₙ+d với công sai d không đổi. Suy ra uₙ=u₁+(n−1)d và uₙ=uₘ+(n−m)d. Nếu d>0 dãy tăng, d<0 dãy giảm, d=0 dãy không đổi. Khi uₖ₋₁,uₖ,uₖ₊₁ là ba số hạng liên tiếp, 2uₖ=uₖ₋₁+uₖ₊₁.

Tổng n số hạng đầu: Sₙ=n(u₁+uₙ)/2=n[2u₁+(n−1)d]/2, n nguyên dương. Công thức xuất phát từ việc ghép số đầu với số cuối: mỗi cặp có cùng tổng u₁+uₙ. Nếu biết Sₙ, u₁=S₁ và uₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ với n≥2.

Các dạng và phương pháp

Nhận biết: tính hiệu hai số hạng liên tiếp theo n, chứng minh hiệu độc lập với n. Tìm u₁,d từ hai số hạng uₚ,u_q: lấy d=(u_q−uₚ)/(q−p), p≠q, rồi thay về. Tìm số hạng/vị trí: dùng công thức tổng quát và kiểm n nguyên dương. Tìm tổng một đoạn từ m đến n: số số hạng là n−m+1, tổng bằng (n−m+1)(uₘ+uₙ)/2.

Khi có ba đại lượng là ba số hạng liên tiếp, có thể đặt x−d,x,x+d để khai thác tổng. Trong bài thực tế, lượng tăng thêm mỗi kỳ không đổi gợi cấp số cộng; xác định kỳ đầu là n=1 và viết rõ đơn vị. Nếu hỏi tổng tiền, tổng quãng đường hay tổng số ghế thì cần Sₙ, không chỉ uₙ. Khi một điều kiện đưa đến phương trình bậc hai theo n, chỉ nhận nghiệm nguyên dương có nghĩa thực tế.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Từ u₁ đến uₙ có n−1 bước tăng, không phải n. Tổng n số hạng không phải n·uₙ trừ dãy hằng. Lãi tính theo phần trăm trên số vốn đang tăng thường là cấp số nhân, còn tăng một khoản tiền cố định mới là cấp số cộng. Ba số thỏa số giữa bằng trung bình hai số ngoài là điều kiện cho ba số đó lập cấp số cộng theo thứ tự đã cho.

Luyện tập bài này

• Cấp số cộng

Toán 11 – Chương 2 – Cấp số nhân

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết sự nhân theo tỉ lệ không đổi, tính số hạng/tổng và vận dụng tăng trưởng theo kỳ. Cần biết lũy thừa và dãy số.

Định nghĩa và công thức

Cấp số nhân thỏa uₙ₊₁=q·uₙ với công bội q không đổi. Công thức uₙ=u₁qⁿ⁻¹ dùng trực tiếp với n≥2; u₁ là số hạng đầu. Nếu uₙ≠0 thì q=uₙ₊₁/uₙ. Khi q=0, các số hạng từ u₂ trở đi bằng 0; không dùng thương có mẫu bằng 0 để nhận biết dãy. Dãy toàn 0 thỏa nhiều công bội, nên công bội không được xác định duy nhất từ dữ liệu đó.

Ba số hạng liên tiếp thỏa uₖ²=uₖ₋₁uₖ₊₁. Chiều đảo cần thận trọng với số 0; với ba số khác 0, đẳng thức này bảo đảm hai thương liên tiếp bằng nhau. Không dùng điều kiện bình phương để bỏ qua thứ tự hay dấu.

Tổng n số hạng đầu: nếu q≠1 thì Sₙ=u₁(1−qⁿ)/(1−q); nếu q=1 thì Sₙ=nu₁. Với u₁>0: q>1 cho dãy tăng; 0<q<1 cho dãy giảm; q<0 làm dấu luân phiên khi u₁≠0 nên thường không đơn điệu. Nếu u₁<0, phải xét lại chiều bằng hiệu uₙ₊₁−uₙ=uₙ(q−1).

Phương pháp

Chứng minh là cấp số nhân bằng hệ thức uₙ₊₁=q uₙ; cách này vẫn dùng được khi có số 0. Từ hai số hạng khác 0 suy ra q^(n−m)=uₙ/uₘ; nếu số mũ chẵn có thể có hai dấu của q, phải xét các điều kiện còn lại. Tìm n bằng lũy thừa hoặc logarit khi các đại lượng dương và phù hợp, sau đó kiểm n nguyên và làm tròn theo ý nghĩa “ít nhất/không quá”.

Tăng r% mỗi kỳ cho hệ số q=1+r/100; giảm r% cho q=1−r/100. Vốn ban đầu P ở thời điểm 0 tăng theo lãi kép thành P(1+r)ⁿ sau n kỳ, với r viết dạng thập phân và giả thiết lãi suất cố định, không có nộp/rút thêm. Nếu có khoản gửi đều mỗi kỳ, cần phân biệt gửi đầu hay cuối kỳ để lập tổng đúng.

Ghi nhớ

Nhân theo tỉ lệ khác cộng một lượng cố định. Không dùng công thức q≠1 tại q=1. Không tự lấy căn dương duy nhất khi tìm q. Công thức tổng vô hạn chỉ dùng khi được học và |q|<1; bài này ưu tiên tổng hữu hạn.

Luyện tập bài này

• Cấp số nhân