Bài 11: Ước chung và ước chung lớn nhất

1. Ước chung là ước của tất cả các số

Một số d là ước chung của a và b nếu cả a và b đều chia hết cho d. Kí hiệu ƯC(a, b) là tập hợp tất cả các ước chung. Với ba số, d phải là ước của cả ba; chỉ là ước của hai số trong ba số là chưa đủ.

d ∈ ƯC(a, b) khi a ⋮ d và b ⋮ d; a, b, d ∈ ℕ*.

Ví dụ 1: tìm ước chung của 42 và 70

Liệt kê các ước của từng số, rồi chọn những số xuất hiện trong cả hai danh sách:

Ư(42) = {1; 2; 3; 6; 7; 14; 21; 42}.

Ư(70) = {1; 2; 5; 7; 10; 14; 35; 70}.

ƯC(42, 70) = {1; 2; 7; 14}.

Số 3 là ước của 42 nhưng không là ước của 70 nên bị loại. Số 1 luôn có mặt vì mọi số tự nhiên đều chia hết cho 1. Không đưa 0 vào tập ước chung vì 0 không được dùng làm số chia.

2. Ước chung lớn nhất là một số

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp ước chung của chúng, kí hiệu ƯCLN. Trong ví dụ trên, 14 là số lớn nhất trong {1; 2; 7; 14}, nên ƯCLN(42, 70) = 14.

ƯC(42, 70) = {1; 2; 7; 14}; ƯCLN(42, 70) = 14.

Cần phân biệt rõ: ƯC là một tập hợp, còn ƯCLN là một số. Số 2 là ước chung nhưng không phải ước chung lớn nhất của 42 và 70. Hai số đã cho là số dương nên ước chung không vượt số nhỏ hơn; điều này giúp kiểm tra độ lớn của kết quả.

Một số trường hợp nhận ra ngay

Nếu số nhỏ nhất trong các số đã cho là ước của tất cả các số còn lại thì ƯCLN chính là số nhỏ nhất ấy. Ví dụ 8 là ước của 24 và 40, nên ƯCLN(8, 24, 40) = 8. Không cần phân tích từng số ra thừa số nguyên tố.

Với a khác 0: ƯCLN(a, 1) = 1 và ƯCLN(a, a) = a. Nếu không có ước chung nào lớn hơn 1 thì ƯCLN bằng 1, không phải bằng 0.

3. Tìm ƯCLN bằng thừa số nguyên tố

Với các số lớn hơn 1, thực hiện lần lượt: phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố; chọn các thừa số nguyên tố có trong tất cả các số; lấy mỗi thừa số chung với số mũ nhỏ nhất rồi nhân lại. Nếu có số 1, xử lí ngay theo trường hợp riêng ở trên.

Ví dụ 2: tìm ƯCLN của 72 và 120

72 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5.

Hai thừa số nguyên tố chung là 2 và 3. Với 2, số mũ nhỏ nhất là 3. Với 3, số mũ nhỏ nhất là 1. Thừa số 5 chỉ có trong 120 nên không được chọn.

ƯCLN(72, 120) = 2³ × 3 = 24.

Vì sao lấy số mũ nhỏ nhất? Cả hai số đã cho phải chia hết cho ước chung. Số 120 chỉ có một thừa số 3 trong dạng phân tích, nên ước chung không thể chứa hai thừa số 3. Lấy ít hơn mức nhỏ nhất vẫn có thể cho một ước chung, nhưng chưa phải lớn nhất. Ta cần phần thừa số chung nhiều nhất mà mọi số đều có.

Ví dụ 3: mở rộng đến ba số

48 = 2⁴ × 3; 72 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5.

Trong cả ba số, chỉ 2 và 3 là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 3; của 3 là 1. Do đó ƯCLN(48, 72, 120) = 2³ × 3 = 24. Kiểm lại: 48 : 24 = 2, 72 : 24 = 3 và 120 : 24 = 5; 24 là ước của đủ cả ba số.

4. Từ ƯCLN tìm toàn bộ ước chung

Mọi ước chung của các số đã cho đều là ước của ƯCLN; ngược lại, mỗi ước của ƯCLN đều là ước của từng số đã cho. Vì thế, sau khi tìm ƯCLN, ta chỉ cần liệt kê các ước của số đó.

Nếu g = ƯCLN(a, b) thì ƯC(a, b) = Ư(g).

Ví dụ ƯCLN(72, 120) = 24. Các cặp thừa số 1 × 24, 2 × 12, 3 × 8, 4 × 6 cho:

ƯC(72, 120) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}.

Tìm được 24 mới trả lời câu hỏi về ƯCLN. Nếu đề hỏi “tìm các ước chung”, cần viết đủ tập hợp ở dòng trên. Không nhầm tập các ước chung với các bội của 24.

5. Hai số nguyên tố cùng nhau

Hai số tự nhiên khác 0 có ƯCLN bằng 1 được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau. Tên gọi này nói về quan hệ giữa hai số, không yêu cầu từng số đều phải là số nguyên tố.

Ví dụ 8 = 2³ và 15 = 3 × 5 không có thừa số nguyên tố chung. Do đó ƯCLN(8, 15) = 1: chúng nguyên tố cùng nhau dù 8 và 15 đều là hợp số. Hai số nguyên tố khác nhau cũng nguyên tố cùng nhau, chẳng hạn 5 và 11.

Không có thừa số nguyên tố chung không có nghĩa không có ước chung: hai số vẫn có ước chung 1. Đây là lí do kết quả ƯCLN trong trường hợp này bằng 1.

6. Rút gọn về phân số tối giản

Trong phần này, xét phân số có tử và mẫu là số tự nhiên khác 0. Khi chia cả tử và mẫu cho cùng một ước chung khác 1, ta được phân số bằng phân số ban đầu. Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu nguyên tố cùng nhau, tức ƯCLN của tử và mẫu bằng 1.

Muốn rút gọn về tối giản trong một bước, tìm ƯCLN của tử và mẫu rồi chia cả hai cho số đó. Nếu ƯCLN đã bằng 1 thì phân số đã tối giản; không cần cố làm tử và mẫu nhỏ hơn bằng cách trừ cùng một số.

Ví dụ 4: tử 84, mẫu 126

84 = 2² × 3 × 7; 126 = 2 × 3² × 7.

ƯCLN(84, 126) = 2 × 3 × 7 = 42.

Chia tử 84 và mẫu 126 cho cùng 42, ta được tử mới 2, mẫu mới 3. Vì ƯCLN(2, 3) = 1, kết quả đã tối giản:

Nếu chỉ chia cả tử và mẫu cho 7 thì được phân số tử 12, mẫu 18; kết quả đúng về giá trị nhưng chưa tối giản vì cả 12 và 18 còn chia hết cho 6. Tử nhỏ hơn mẫu không phải dấu hiệu của phân số tối giản; cần kiểm ước chung.

7. Vận dụng vào chia đoạn và chia nhóm

Ví dụ 5: chia hai dải giấy

Độ dài mỗi đoạn phải là ước của cả 42 và 70, nên các độ dài phù hợp là 1 cm, 2 cm, 7 cm, 14 cm. Muốn mỗi đoạn dài nhất, chọn 14 cm. Dải 42 cm chia thành 3 đoạn; dải 70 cm chia thành 5 đoạn; tổng cộng 8 đoạn. Đây là mô hình chia độ dài, không tính hao hụt do dụng cụ cắt.

Ví dụ 6: chia nhiều nhất bao nhiêu phần quà?

Có 48 quyển vở, 72 bút chì và 120 nhãn vở; cần dùng hết để tạo các phần quà giống nhau về từng loại. Số phần quà phải là ước chung của 48, 72 và 120. Số phần nhiều nhất bằng ƯCLN của ba số, tức 24 phần. Mỗi phần có 2 quyển vở, 3 bút chì và 5 nhãn vở.

Phải xét từng loại đồ, không chỉ xét tổng 48 + 72 + 120. Sau khi tìm số phần, còn cần chia từng số lượng để trả lời mỗi phần chứa bao nhiêu. “24 phần quà” và “24 đồ vật mỗi phần” là hai ý khác nhau.

Lỗi dễ nhầm và ghi nhớ

• Ghi ƯC như một số hoặc ƯCLN như một tập hợp: phân biệt yêu cầu trước khi viết kết quả.
• Lấy cả thừa số không chung hoặc số mũ lớn nhất: ƯCLN chỉ lấy phần chung với số mũ nhỏ nhất.
• Chỉ kiểm ước của hai trong ba số: phải thỏa tất cả các số đang xét.
• Hiểu nguyên tố cùng nhau là hai số đều nguyên tố: 8 và 15 là phản ví dụ.
• Rút gọn phân số chỉ chia tử hoặc chỉ chia mẫu: phải chia cả hai cho cùng một số khác 0.

Nhớ chuỗi: phân tích → lấy chung, mũ nhỏ nhất → nhân thành ƯCLN → tìm ước của ƯCLN khi cần toàn bộ ước chung. Khi vận dụng, luôn gắn kết quả với đúng đại lượng và đơn vị của tình huống.