Bài 12: Bội chung và bội chung nhỏ nhất

1. Bội chung và bội chung nhỏ nhất

Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó. Kí hiệu BC(a, b) là tập hợp các bội chung của a và b. Một số x thuộc tập hợp này khi x chia hết cho cả a và b. Với ba số, x phải chia hết cho đủ cả ba.

x ∈ BC(a, b) khi x ⋮ a và x ⋮ b; x ∈ ℕ, a, b ∈ ℕ*.

Ví dụ 1: tìm bội chung của 12 và 20

B(12) = {0; 12; 24; 36; 48; 60; 72; …}.

B(20) = {0; 20; 40; 60; 80; 100; 120; …}.

Tiếp tục liệt kê cho thấy các số chung là 0, 60, 120, 180, … Số 0 là bội của mọi số tự nhiên khác 0, nên luôn thuộc tập bội chung. Tuy nhiên, khi tìm bội chung nhỏ nhất, ta phải chọn trong các bội chung khác 0.

BC(12, 20) = {0; 60; 120; 180; …}.

Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập bội chung của chúng, kí hiệu BCNN. Vì 60 là bội chung dương đầu tiên của 12 và 20 nên BCNN(12, 20) = 60. BC là một tập hợp; BCNN là một số, không viết lẫn hai loại kết quả.

2. Những trường hợp nhận biết nhanh

Nếu số lớn nhất trong các số đã cho là bội của tất cả các số còn lại thì BCNN chính là số lớn nhất ấy. Ví dụ 24 chia hết cho cả 6 và 8, nên BCNN(6, 8, 24) = 24. Chỉ chọn số lớn nhất mà chưa kiểm tính chia hết là không đủ.

Với a khác 0, BCNN(a, 1) = a và BCNN(a, a) = a. Khi tìm BCNN của nhiều số có mặt số 1, có thể bỏ số 1 rồi tìm BCNN các số còn lại. Nếu tất cả các số đều bằng 1 thì kết quả là 1.

BCNN của các số khác 0 không nhỏ hơn số lớn nhất trong chúng. Đây là cách kiểm tra sơ bộ độ lớn, không thay cho việc chứng minh số tìm được là bội chung và là nhỏ nhất khác 0.

3. Tìm BCNN bằng thừa số nguyên tố

Với các số lớn hơn 1, phân tích từng số ra thừa số nguyên tố. Sau đó chọn tất cả các thừa số nguyên tố xuất hiện, gồm cả thừa số chung và thừa số riêng. Với mỗi thừa số đã chọn, lấy số mũ lớn nhất rồi nhân lại. Xử lí số 1 theo trường hợp riêng ở trên.

Ví dụ 2: tìm BCNN của 72 và 120

72 = 2³ × 3²; 120 = 2³ × 3 × 5.

Chọn đủ 2, 3 và 5. Số mũ lớn nhất của 2 là 3; của 3 là 2; của 5 là 1. Vì thế:

BCNN(72, 120) = 2³ × 3² × 5 = 360.

Vì sao phải lấy số mũ lớn nhất? Một bội chung phải chia hết cho cả 72 và 120 nên cần đủ ba thừa số 2, hai thừa số 3 của 72, đồng thời có thừa số 5 của 120. Chọn đúng các số mũ lớn nhất cho lượng thừa số vừa đủ; thêm nữa vẫn có thể tạo bội chung nhưng không còn nhỏ nhất. Kiểm lại: 360 : 72 = 5 và 360 : 120 = 3.

So với Bài 11, cùng hai số 72 và 120 có ƯCLN bằng 24 nhưng BCNN bằng 360. ƯCLN lấy phần chung với số mũ nhỏ nhất; BCNN lấy cả phần chung lẫn phần riêng với số mũ lớn nhất. Không trộn hai quy tắc.

Ví dụ 3: tìm BCNN của ba số

12 = 2² × 3; 18 = 2 × 3²; 30 = 2 × 3 × 5.

Các thừa số cần lấy là 2, 3, 5. Số mũ lớn nhất tương ứng là 2, 2, 1. Do đó BCNN(12, 18, 30) = 2² × 3² × 5 = 180. Số 180 chia hết cho cả ba: các thương lần lượt là 15, 10 và 6.

Liên hệ với hai số nguyên tố cùng nhau

Nếu hai số nguyên tố cùng nhau thì không có thừa số nguyên tố chung. Khi lấy đủ các thừa số của cả hai số, BCNN bằng tích của chúng. Ví dụ ƯCLN(8, 15) = 1 nên BCNN(8, 15) = 8 × 15 = 120. Không nhân hai số một cách máy móc khi chúng có ước chung lớn hơn 1: 12 × 20 = 240 là bội chung, nhưng không phải BCNN vì 60 nhỏ hơn và vẫn chia hết cho cả hai.

4. Từ BCNN tìm các bội chung theo điều kiện

Mọi bội chung của các số đã cho đều là bội của BCNN; ngược lại, mỗi bội của BCNN đều là bội chung của các số đó. Sau khi tìm BCNN, nhân kết quả lần lượt với 0, 1, 2, 3, … rồi chọn các giá trị đáp ứng yêu cầu.

Nếu m = BCNN(a, b) thì BC(a, b) = B(m).

Ví dụ 4: tìm bội chung trong một khoảng

Tìm các bội chung của 12 và 20 lớn hơn 100 và nhỏ hơn 250. Vì BCNN(12, 20) = 60, ta xét 0, 60, 120, 180, 240, 300, … Chỉ 120, 180 và 240 nằm trong khoảng yêu cầu. Nếu đề chỉ hỏi bội chung nhỏ hơn 250 thì phải lấy cả 0 và 60; không tự bỏ chúng khi điều kiện vẫn cho phép.

5. Quy đồng mẫu các phân số

Trong phần này, xét các phân số có tử là số tự nhiên và mẫu là số tự nhiên khác 0. Quy đồng mẫu là viết lại các phân số dưới dạng những phân số bằng chúng nhưng có cùng một mẫu số. Mẫu chung phải là bội chung khác 0 của các mẫu ban đầu; thường chọn BCNN để các số tính toán gọn hơn.

Thực hiện ba bước: tìm mẫu chung M; lấy M chia cho từng mẫu để được thừa số phụ; nhân cả tử và mẫu của từng phân số với đúng thừa số phụ tương ứng. Khi quy đồng, không được tùy ý đổi mẫu mà giữ nguyên tử: cần nhân cả hai với đúng thừa số phụ.

Ví dụ 5: quy đồng ba phân số

Xét ba phân số có tử và mẫu lần lượt là 1 và 12; 3 và 20; 7 và 30. Ta có 12 = 2² × 3, 20 = 2² × 5, 30 = 2 × 3 × 5 nên mẫu chung nhỏ nhất là 60. Các thừa số phụ là 60 : 12 = 5, 60 : 20 = 3, 60 : 30 = 2. Nhân cả tử và mẫu, ta được:

Ba phân số mới có tử lần lượt là 5, 9, 14 và cùng mẫu 60. Có thể dùng mẫu chung 120, nhưng BCNN là 60 nên cách trên gọn hơn. Phân số sau quy đồng không bắt buộc tối giản: mục đích lúc này là cùng mẫu; không rút gọn ngay từng phân số rồi làm mất mẫu chung.

6. Cộng, trừ phân số sau khi quy đồng

Với các phân số cùng mẫu, cộng hoặc trừ các tử và giữ nguyên mẫu. Nếu khác mẫu, quy đồng trước rồi mới thực hiện phép tính; cuối cùng rút gọn kết quả nếu cần. Trong các ví dụ trừ dưới đây, phân số bị trừ lớn hơn phân số trừ.

Ví dụ 6: cộng hai phân số

Cộng phân số tử 5, mẫu 12 với phân số tử 7, mẫu 18. BCNN(12, 18) = 36. Các thừa số phụ là 3 và 2, nên hai tử sau quy đồng là 15 và 14. Cộng tử được 29, giữ mẫu 36; kết quả đã tối giản vì 29 và 36 nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 7: trừ hai phân số

Lấy phân số tử 7, mẫu 15 trừ phân số tử 1, mẫu 10. BCNN(15, 10) = 30. Nhân tử và mẫu phân số thứ nhất với 2, phân số thứ hai với 3; sau đó lấy 14 − 3 = 11 và giữ mẫu 30. Kết quả cũng đã tối giản.

Dấu cộng hoặc trừ chỉ tác động đến tử sau khi đã có cùng mẫu, không cộng hai mẫu hoặc trừ hai mẫu. Giữ các dòng biến đổi có cùng giá trị; mỗi dấu bằng phải nối hai biểu thức bằng nhau.

Lỗi dễ nhầm và ghi nhớ

• Lấy 0 làm BCNN: số 0 thuộc BC nhưng bị loại khi tìm BCNN.
• Chỉ lấy thừa số chung hoặc dùng số mũ nhỏ nhất: đó không phải quy tắc tìm BCNN.
• Nhân các số rồi gọi ngay là BCNN: tích có thể là bội chung nhưng chưa nhỏ nhất.
• Tìm được BCNN rồi quên điều kiện khoảng, thời điểm hoặc số lượng thực tế.
• Quy đồng chỉ đổi mẫu, dùng sai thừa số phụ hoặc cộng cả mẫu: phải giữ giá trị từng phân số.

Nhớ: bội chung chia hết cho tất cả các số; BCNN là bội chung dương nhỏ nhất. Khi phân tích, lấy chung và riêng, mũ lớn nhất. Khi dùng mẫu chung, nhân cả tử và mẫu; khi cộng, trừ cùng mẫu, chỉ tính ở tử rồi rút gọn kết quả.