Bài 13: Tập hợp các số nguyên

1. Làm quen với số nguyên âm

Các số 1, 2, 3, … còn được gọi là số nguyên dương. Đặt dấu “−” trước các số ấy, ta được −1, −2, −3, …, gọi là số nguyên âm. Số −8 đọc là “âm tám”; −25 đọc là “âm hai mươi lăm”. Có thể viết +6 thay cho 6 và đọc “dương sáu”; dấu cộng trước số dương thường được lược bỏ.

Dấu “−” trong cách viết −8 cho biết đây là một số âm. Không đọc riêng −8 thành một phép trừ chưa có số bị trừ. Tương tự, 8 và −8 không phải cùng một số chỉ vì cùng có chữ số 8.

Ví dụ 1: đọc số và xác định đúng loại

Trong các số −18; 0; +7; −2; 12, hai số nguyên âm là −18 và −2; hai số nguyên dương là +7 và 12. Số 0 không thuộc hai nhóm đó. Đọc −18 là “âm mười tám”, +7 là “dương bảy” hoặc “bảy”. Khi chép lại, giữ dấu âm gắn với số, không bỏ dấu chỉ để danh sách trông gọn hơn.

2. Tập hợp số nguyên gồm những số nào?

Tập hợp gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương được gọi là tập hợp số nguyên, kí hiệu ℤ. Các dấu ba chấm ở hai phía cho biết còn những số nguyên tiếp tục theo quy luật ấy.

ℤ = {…; −4; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4; …}.

Số 0 không là số nguyên dương, cũng không là số nguyên âm. Mọi số tự nhiên đều là số nguyên: 0, 1, 2, … đều xuất hiện trong ℤ. Chiều ngược lại không đúng, vì −3 là số nguyên nhưng không phải số tự nhiên.

Ví dụ 2: dùng đúng kí hiệu thuộc và không thuộc

−3 ∈ ℤ; 0 ∈ ℤ; 15 ∈ ℤ; −3 ∉ ℕ.

Số thập phân 2,5 không phải số nguyên vì nằm giữa hai số nguyên liên tiếp 2 và 3. Không cho rằng cứ một số có dấu “+” hoặc “−” thì đều là số nguyên: dấu chỉ cho biết hướng hoặc tính âm, dương, còn loại số phải được xét riêng.

Số không âm gồm 0 và các số dương; số không dương gồm 0 và các số âm. Đây là cách đọc điều kiện, không phải cách đổi 0 thành số âm hoặc số dương.

3. Khi nào dùng số âm?

Số âm và số dương thường dùng để biểu thị các đại lượng ở hai phía của một mốc hoặc theo hai chiều ngược nhau. Muốn hiểu số đã ghi, cần biết quy ước của tình huống. Cùng số −4 có thể chỉ nhiệt độ, độ cao hay mức thay đổi; đơn vị và mốc giúp phân biệt.

Ví dụ 3: giải thích hai số đo nhiệt độ

Ở đây lấy 0 °C làm mốc. Nhiệt độ −4 °C nằm dưới mốc ấy 4 độ; nhiệt độ 3 °C nằm trên mốc ấy 3 độ. Hai thang trong hình được chia như nhau, mỗi khoảng giữa hai vạch liên tiếp ứng với 1 °C. Nhìn vị trí so với vạch 0 giúp tránh đọc nhầm −4 °C thành 4 °C.

Một mô hình độ cao lấy mặt nước làm mốc 0 m: điểm nằm dưới mốc 12 m được ghi −12 m, điểm nằm trên mốc 5 m được ghi +5 m. Dấu âm không làm độ dài 12 m trở thành “độ dài âm”; nó cho biết vị trí nằm dưới mốc theo quy ước.

Trong bảng theo dõi thay đổi số tiền, quy ước nhận thêm là dương và chi ra là âm: +30 000 đồng biểu thị tăng thêm 30 000 đồng, −20 000 đồng biểu thị giảm đi 20 000 đồng. Một khoản chi âm không tự chứng minh số tiền còn lại bị âm; đây là số thay đổi, không phải số dư. Các số liệu này chỉ là ví dụ học tập.

4. Biểu diễn số nguyên trên trục số

Chọn một đường thẳng, điểm gốc O biểu diễn số 0, một chiều dương và một độ dài đơn vị. Với trục nằm ngang thường dùng, chiều từ trái sang phải là chiều dương; chiều ngược lại là chiều âm. Từ O, đặt 1, 2, 3, … cách đều về bên phải và −1, −2, −3, … cách đều về bên trái.

Điểm biểu diễn số nguyên a được gọi là điểm a. Trên cùng trục, mọi khoảng giữa hai số nguyên liên tiếp phải có cùng độ dài. Mũi tên chỉ chiều dương, không có nghĩa trục số bắt đầu hoặc kết thúc ở vạch cuối cùng được vẽ.

Ví dụ 4: đặt và đọc các điểm

Để đặt điểm A biểu diễn −5, bắt đầu từ O rồi đi 5 đơn vị theo chiều âm. Điểm B biểu diễn −2 nằm cách O 2 đơn vị về bên trái; điểm C biểu diễn 3 nằm cách O 3 đơn vị về bên phải. Điểm O có thể ghi tên ở trên và số 0 ở dưới, mỗi nhãn có một vai trò, không phải hai điểm khác nhau.

Trục số cũng có thể vẽ thẳng đứng; khi chọn chiều lên trên là chiều dương thì số nhỏ hơn nằm thấp hơn. Luôn đọc chiều được chỉ trên hình, không áp dụng máy móc câu “bên phải lớn hơn” cho một hình đang vẽ theo phương thẳng đứng.

5. So sánh hai số nguyên

Trên trục số nằm ngang có chiều dương từ trái sang phải, điểm biểu diễn số nhỏ hơn nằm bên trái điểm biểu diễn số lớn hơn. Vì thế, mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn 0 và mọi số nguyên dương đều lớn hơn 0; số âm luôn nhỏ hơn số dương.

Với hai số nguyên dương, so sánh như hai số tự nhiên đã học. Với hai số nguyên âm, số có phần số tự nhiên sau dấu âm lớn hơn lại nhỏ hơn: vì 9 > 4 nên −9 < −4. Có thể kiểm bằng trục số: −9 nằm xa về bên trái hơn −4.

Âm < 0 < dương. Với a, b là số nguyên dương: a > b thì −a < −b.

Ví dụ 5: sắp xếp từ nhỏ đến lớn

Sắp xếp −12; 5; −3; 0; −8; 2. Trước hết chia thành ba nhóm: số âm, số 0 và số dương. Trong nhóm âm, vì 12 > 8 > 3 nên −12 < −8 < −3. Trong nhóm dương, 2 < 5. Ghép đúng thứ tự các nhóm, ta được:

−12 < −8 < −3 < 0 < 2 < 5.

Dấu ≤ nghĩa là “nhỏ hơn hoặc bằng”; dấu ≥ nghĩa là “lớn hơn hoặc bằng”. Chẳng hạn −3 ≤ −3 là đúng vì có trường hợp bằng nhau, còn −3 < −3 là sai. Khi đọc một chuỗi so sánh, mỗi dấu đều phải đúng.

6. Liệt kê số nguyên theo điều kiện

Ví dụ 6: không bỏ sót hoặc lấy nhầm biên

Tìm các số nguyên x thỏa −3 < x ≤ 2. Điều kiện x ∈ ℤ cho biết chỉ lấy số nguyên. Biên trái dùng dấu < nên không lấy −3; biên phải dùng dấu ≤ nên lấy 2. Đi lần lượt trên trục số từ −2 đến 2, ta được:

{x ∈ ℤ | −3 < x ≤ 2} = {−2; −1; 0; 1; 2}.

Có 5 số trong tập hợp, gồm 2 số âm, số 0 và 2 số dương. Nếu đổi thành −3 ≤ x < 2, tập hợp trở thành {−3; −2; −1; 0; 1}. Cùng hai mốc nhưng đổi dấu ở biên có thể thay những phần tử được chọn.

7. Lỗi dễ nhầm và cách ghi nhớ

Nhầm “xa 0 hơn” với “lớn hơn”: −5 cách 0 xa hơn −2 nhưng −5 < −2. Khoảng cách tính bằng số đơn vị không âm; thứ tự xét theo vị trí trên trục. Hai câu hỏi không thể thay thế nhau.

Nhầm số 0 thuộc nhóm dương: 0 thuộc ℤ và ℕ nhưng không âm, cũng không dương. Nhầm mọi số nguyên đều tự nhiên: các số nguyên âm là phần được bổ sung khi đi từ ℕ đến ℤ.

Quên mốc và đơn vị: một số −12 đứng riêng chưa nói rõ độ cao hay nhiệt độ. Quên độ chia: khoảng cách hai vạch phải được đọc trước khi xác định số ở một điểm. Quên điều kiện biên: dấu < khác dấu ≤.

Ghi nhớ bằng ba bước: đọc dấu và loại số → xác định mốc hoặc vị trí trên trục → so sánh hoặc chọn đúng điều kiện. Trước khi chốt, đọc lại kết quả thành lời để xem có đúng ý nghĩa của tình huống không.