Cấp số cộng

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết lượng tăng đều, xác định số hạng và tổng hữu hạn, mô hình hóa bài toán theo thời điểm. Cần biết dãy số và phương trình bậc nhất.

Định nghĩa và công thức

Cấp số cộng là dãy thỏa uₙ₊₁=uₙ+d với công sai d không đổi. Suy ra uₙ=u₁+(n−1)d và uₙ=uₘ+(n−m)d. Nếu d>0 dãy tăng, d<0 dãy giảm, d=0 dãy không đổi. Khi uₖ₋₁,uₖ,uₖ₊₁ là ba số hạng liên tiếp, 2uₖ=uₖ₋₁+uₖ₊₁.

Tổng n số hạng đầu: Sₙ=n(u₁+uₙ)/2=n[2u₁+(n−1)d]/2, n nguyên dương. Công thức xuất phát từ việc ghép số đầu với số cuối: mỗi cặp có cùng tổng u₁+uₙ. Nếu biết Sₙ, u₁=S₁ và uₙ=Sₙ−Sₙ₋₁ với n≥2.

Các dạng và phương pháp

Nhận biết: tính hiệu hai số hạng liên tiếp theo n, chứng minh hiệu độc lập với n. Tìm u₁,d từ hai số hạng uₚ,u_q: lấy d=(u_q−uₚ)/(q−p), p≠q, rồi thay về. Tìm số hạng/vị trí: dùng công thức tổng quát và kiểm n nguyên dương. Tìm tổng một đoạn từ m đến n: số số hạng là n−m+1, tổng bằng (n−m+1)(uₘ+uₙ)/2.

Khi có ba đại lượng là ba số hạng liên tiếp, có thể đặt x−d,x,x+d để khai thác tổng. Trong bài thực tế, lượng tăng thêm mỗi kỳ không đổi gợi cấp số cộng; xác định kỳ đầu là n=1 và viết rõ đơn vị. Nếu hỏi tổng tiền, tổng quãng đường hay tổng số ghế thì cần Sₙ, không chỉ uₙ. Khi một điều kiện đưa đến phương trình bậc hai theo n, chỉ nhận nghiệm nguyên dương có nghĩa thực tế.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Từ u₁ đến uₙ có n−1 bước tăng, không phải n. Tổng n số hạng không phải n·uₙ trừ dãy hằng. Lãi tính theo phần trăm trên số vốn đang tăng thường là cấp số nhân, còn tăng một khoản tiền cố định mới là cấp số cộng. Ba số thỏa số giữa bằng trung bình hai số ngoài là điều kiện cho ba số đó lập cấp số cộng theo thứ tự đã cho.

Luyện tập bài này

• Cấp số cộng