Cấp số nhân

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết sự nhân theo tỉ lệ không đổi, tính số hạng/tổng và vận dụng tăng trưởng theo kỳ. Cần biết lũy thừa và dãy số.

Định nghĩa và công thức

Cấp số nhân thỏa uₙ₊₁=q·uₙ với công bội q không đổi. Công thức uₙ=u₁qⁿ⁻¹ dùng trực tiếp với n≥2; u₁ là số hạng đầu. Nếu uₙ≠0 thì q=uₙ₊₁/uₙ. Khi q=0, các số hạng từ u₂ trở đi bằng 0; không dùng thương có mẫu bằng 0 để nhận biết dãy. Dãy toàn 0 thỏa nhiều công bội, nên công bội không được xác định duy nhất từ dữ liệu đó.

Ba số hạng liên tiếp thỏa uₖ²=uₖ₋₁uₖ₊₁. Chiều đảo cần thận trọng với số 0; với ba số khác 0, đẳng thức này bảo đảm hai thương liên tiếp bằng nhau. Không dùng điều kiện bình phương để bỏ qua thứ tự hay dấu.

Tổng n số hạng đầu: nếu q≠1 thì Sₙ=u₁(1−qⁿ)/(1−q); nếu q=1 thì Sₙ=nu₁. Với u₁>0: q>1 cho dãy tăng; 0<q<1 cho dãy giảm; q<0 làm dấu luân phiên khi u₁≠0 nên thường không đơn điệu. Nếu u₁<0, phải xét lại chiều bằng hiệu uₙ₊₁−uₙ=uₙ(q−1).

Phương pháp

Chứng minh là cấp số nhân bằng hệ thức uₙ₊₁=q uₙ; cách này vẫn dùng được khi có số 0. Từ hai số hạng khác 0 suy ra q^(n−m)=uₙ/uₘ; nếu số mũ chẵn có thể có hai dấu của q, phải xét các điều kiện còn lại. Tìm n bằng lũy thừa hoặc logarit khi các đại lượng dương và phù hợp, sau đó kiểm n nguyên và làm tròn theo ý nghĩa “ít nhất/không quá”.

Tăng r% mỗi kỳ cho hệ số q=1+r/100; giảm r% cho q=1−r/100. Vốn ban đầu P ở thời điểm 0 tăng theo lãi kép thành P(1+r)ⁿ sau n kỳ, với r viết dạng thập phân và giả thiết lãi suất cố định, không có nộp/rút thêm. Nếu có khoản gửi đều mỗi kỳ, cần phân biệt gửi đầu hay cuối kỳ để lập tổng đúng.

Ghi nhớ

Nhân theo tỉ lệ khác cộng một lượng cố định. Không dùng công thức q≠1 tại q=1. Không tự lấy căn dương duy nhất khi tìm q. Công thức tổng vô hạn chỉ dùng khi được học và |q|<1; bài này ưu tiên tổng hữu hạn.

Luyện tập bài này

• Cấp số nhân