GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 9

Đa giác đều

Lục giác đều nội tiếp đường tròn bán kính 4, sáu góc ở tâm 60°. Mỗi cạnh dài 4; đoạn vuông góc từ tâm tới cạnh là bán kính nội tiếp 2√3.

Mục tiêu và kiến thức nền

Hiểu cạnh/góc bằng nhau và tính góc, độ dài dựa vào tâm. Cần biết tam giác và đường tròn.

Khái niệm và công thức

Đa giác đều có tất cả cạnh bằng nhau và tất cả góc bằng nhau. Đa giác đều n cạnh, n≥3, có tổng góc trong (n−2)180°, mỗi góc trong bằng (n−2)180°/n; góc ở tâm giữa hai đỉnh liên tiếp bằng 360°/n. Góc ngoài khi đi quanh đa giác theo một chiều bằng 360°/n.

Đa giác đều có đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp cùng tâm. Nếu cạnh là a, bán kính ngoại tiếp R, bán kính nội tiếp r, nối tâm với hai đỉnh liên tiếp rồi hạ vuông góc tới trung điểm cạnh tạo tam giác vuông: a=2R sin(180°/n), r=R cos(180°/n). Diện tích S=(chu vi·r)/2=n a r/2.

Phương pháp

Chia hình thành n tam giác cân chung đỉnh tâm, rồi mỗi tam giác cân thành hai tam giác vuông. Chọn công thức theo dữ kiện cạnh, R hoặc r. Các trường hợp tam giác đều, hình vuông, lục giác đều có thể tính bằng hình học quen thuộc.

Ghi nhớ

Hình thoi có bốn cạnh bằng nhau nhưng chưa chắc là đa giác đều vì góc có thể không bằng nhau. Phân biệt góc ở tâm với góc trong. Góc dùng trong sin/cos ở công thức trên tính bằng độ.

Công thức trọng tâm

Đa giác đều n cạnh, n ≥ 3; a là cạnh, R ngoại tiếp, r nội tiếp. Các góc trong sin/cos dưới đây tính bằng độ.

\alpha=\frac{(n-2)180^\circ}{n}

a=2R\sin\frac{180^\circ}{n},\qquad r=R\cos\frac{180^\circ}{n}

S=\frac{nar}{2}

Ví dụ có lời giải từng bước

Một lục giác đều có bán kính ngoại tiếp 4 cm. Tính cạnh, góc trong và diện tích.

Góc ở tâm bằng 360°/6 = 60°. Mỗi tam giác nối tâm với hai đỉnh liên tiếp là tam giác đều cạnh 4 cm, nên cạnh lục giác a = 4 cm.
Góc trong bằng(6 − 2)180°/6 = 120°.
Bán kính nội tiếp r = 4 cos 30° = 2√3 cm. Diện tích S = 6 · 4 · 2√3/2 = 24√3 cm².

Góc ở tâm 60° khác góc trong 120°. Công thức diện tích dùng bán kính nội tiếp, tức đường cao của mỗi tam giác ở tâm.

Tự kiểm tra

Thử trả lời rồi mới mở lời giải.

Hình thoi có phải luôn là đa giác đều không?

Không. Các cạnh bằng nhau chưa đủ; các góc cũng phải bằng nhau. Chỉ hình thoi là hình vuông mới đều.

Góc ngoài của lục giác đều bằng bao nhiêu?

360°/6 = 60°; sáu góc ngoài theo một chiều có tổng 360°.

Tóm tắt và học tiếp

Góc ở tâm 60° khác góc trong 120°. Công thức diện tích dùng bán kính nội tiếp, tức đường cao của mỗi tam giác ở tâm.

Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.

Luyện tập bài này

Bài 30. Đa giác đều

← Về mục lục chương

Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.

Đa giác đều – Toán 9