Dao động tắt dần, cưỡng bức và cộng hưởng

Vật lí 11 · Chương 1: Dao động · Chủ đề 5

Phân biệt dao động tắt dần, duy trì và cưỡng bức; giải thích cộng hưởng và giải bài năng lượng hao hụt.

Đồ thị dao động tắt dần có biên độ nhỏ dần.

Mục tiêu và kiến thức nền

Phân biệt dao động tắt dần, duy trì và cưỡng bức; giải thích cộng hưởng và giải bài năng lượng hao hụt.

Nắm chu kì, tần số, cơ năng và quan hệ W ∝ A² khi giữ nguyên hệ lò xo.

Hiểu khái niệm

Một xích đu được kéo rồi thả sẽ có biên độ nhỏ dần do ma sát với môi trường. Nếu bù năng lượng theo nhịp riêng của hệ, dao động được duy trì. Nếu tác dụng ngoại lực tuần hoàn, hệ dao động cưỡng bức; sau quá độ, tần số đáp ứng bằng tần số của ngoại lực.

Công thức và điều kiện áp dụng

Cưỡng bức ổn định

f d a o đ ộ n g = f n g o ạ i l ự c

Áp dụng sau giai đoạn quá độ. Pha và biên độ còn phụ thuộc hệ và ma sát.

Cộng hưởng gần đúng

f \approx f_{0}; ω \approx ω_{0}

Với ma sát nhỏ, biên độ tăng mạnh khi nhịp kích thích gần nhịp riêng. So sánh đáp ứng với cùng biên độ lực kích thích.

Cơ năng tại các biên

\frac{W_{2}}{W_{1}} = (\frac{A_{2}}{A_{1}})^{2}

Cùng hệ lò xo, xét các thời điểm đổi chiều, khi v = 0.

Năng lượng hao hụt

Δ W = W_{1} - W_{2}

Phần trăm hao hụt bằng [1 − ( $\frac{A_{2}}{A_{1}}$ )²] × 100%.

Kích thích qua các gờ đều

T k í c h t h í c h = \frac{d}{v}; f k í c h t h í c h = \frac{v}{d}

d là khoảng cách giữa hai gờ, v là tốc độ chuyển động đều.

Phương pháp giải

Với câu hiện tượng, xác định hệ có ma sát không, có ngoại lực tuần hoàn không và đang xét quá độ hay ổn định. Với bài cộng hưởng, tìm f₀ hoặc T₀ rồi ghép với nhịp kích thích. Với bài hao hụt cơ năng, bình phương tỉ số biên độ trước khi tính phần trăm.

Ứng dụng và điều kiện của mô hình

Giảm xóc tận dụng sự tiêu hao cơ năng để dập rung. Cộng hưởng có thể hữu ích trong việc chọn tần số, nhưng rung mạnh cũng có thể làm hư thiết bị. Ma sát lớn thường làm đỉnh đáp ứng thấp và rộng hơn. Không khẳng định đỉnh biên độ luôn đúng tại f₀ với mọi mức ma sát. Trong mô hình ma sát nhớt tuyến tính dưới hạn, đường bao biên độ giảm theo hàm mũ còn chu kì tắt dần không đổi theo thời gian nếu tham số hệ không đổi.

Ví dụ có lời giải

Hệ treo có T₀ = 0,5 s; các gờ cách nhau d = 5 m. Trong mô hình ma sát nhỏ, gần cộng hưởng khi $\frac{d}{v}$ = T₀, suy ra v = $\frac{5}{0,5}$ = 10 m/s = 36 km/h. Nếu biên độ con lắc lò xo giảm từ 4 cm xuống 3,6 cm thì $\frac{W_{2}}{W_{1}}$ = 0,9² = 0,81: cơ năng hao hụt 19%.

Hai mô hình lực cản cần phân biệt

Với lực cản nhớt F = −bv, đặt β = $\frac{b}{2 m}$ , ω₀ = √( $\frac{k}{m}$ ). Dưới hạn khi β < ω₀: x có đường bao giảm theo exp(−βt), tần số góc ωd = √(ω₀² − β²). Do đó Td = $\frac{2 π}{ω d}$ chỉ xấp xỉ T₀ khi lực cản nhỏ, không luôn bằng T₀.

Chế độ của lực cản nhớt	Dạng chuyển động
Dưới hạn: β < ω₀	Đi qua lại cân bằng, biên độ giảm dần
Tới hạn: β = ω₀	Trở về cân bằng nhanh nhất trong họ đáp ứng không vượt cân bằng với điều kiện thả nhẹ
Quá tắt dần: β > ω₀	Trở về chậm hơn, không dao động qua lại khi thả nhẹ

Đường 1 dưới hạn; đường 3 tới hạn; đường 2 quá tắt dần.

Trong mô hình nhớt lí tưởng, li độ và vận tốc tiến dần về 0; “dừng” trong thực nghiệm thường là nhỏ hơn ngưỡng quan sát. Với ma sát trượt và ma sát nghỉ, vật có thể dừng tại thời điểm hữu hạn, ở một vị trí mà ma sát nghỉ cân bằng lực đàn hồi.

Ma sát trượt không đổi trên mặt phẳng ngang

F c = μ m g; x_{0} = \frac{F c}{k}

Δ A (\frac{T}{2}) = \frac{2 F c}{k}; Δ A (T) = \frac{4 F c}{k}

Các công thức giảm biên độ áp dụng cho những lượt đi còn đổi chiều và vượt qua vị trí lò xo không biến dạng. Trên lượt đầu đi từ +A về phía âm, tâm dao động tạm thời là +x₀; tốc độ cực đại là √( $\frac{k}{m}$ )(A − x₀). Khi gần dừng phải xét thêm điều kiện ma sát nghỉ, không tự động làm tròn $\frac{A}{Δ A}$ thành số chu kì.

Nếu vật dừng đúng tại x = 0, tổng công ma sát cho FcS = $\frac{k A^{2}}{2}$ , nên S = $\frac{k A^{2}}{2 F c}$ . Nếu dừng tại xf khác 0, dùng FcS = $\frac{k (A^{2} - x f^{2})}{2}$ . Với suy giảm theo phần trăm r của biên độ mỗi chu kì, Aₙ = A₀(1 − r)ⁿ và Eₙ = E₀(1 − r)²ⁿ; không trộn mô hình này với độ giảm biên độ cố định do ma sát trượt.

Đọc đường cộng hưởng

Với cùng lực kích thích, cản nhỏ cho đỉnh đáp ứng cao và hẹp hơn.

Với ngoại lực F₀cos(Ωt), hệ tuyến tính có biên độ ổn định A = $\frac{F_{0}}{\sqrt{[{(k - m Ω^{2})}^{2} + b^{2} Ω^{2}]}}$ . Khi cản rất nhỏ, đỉnh nằm gần Ω = ω₀. Công thức này cũng cho thấy không thể chỉ so sánh |Ω − ω₀| trong mọi trường hợp cách xa cộng hưởng.

Bốn ví dụ về suy giảm và duy trì dao động

Ví dụ 1. Xích đu

Một xích đu được đẩy rồi thả, sau một thời gian biên độ nhỏ dần. Xác định loại dao động, nguyên nhân và cách duy trì biên độ.

Đây là dao động tắt dần. Ma sát ở trục và lực cản không khí lấy đi cơ năng. Muốn duy trì biên độ, bổ sung năng lượng đúng nhịp, lượng cung cấp trung bình mỗi chu kì bằng lượng hao phí.

Ví dụ 2. Biên độ giảm 4% sau mỗi chu kì

Con lắc có k = 100 N/m, m = 250 g, A₀ = 4 cm, tắt dần yếu. Tính T gần đúng, E₀, E₂ và số chu kì khi cơ năng còn xấp xỉ 0,049 J.

T ≈ 2π√( $\frac{m}{k}$ ) = $\frac{π}{10}$ s ≈ 0,314 s. E₀ = $\frac{k {A_{0}}^{2}}{2}$ = 0,08 J.

E₂ = 0,08 × 0,96⁴ ≈ 0,06795 J. Giải 0,08 × 0,96²ⁿ = 0,049 được n ≈ 6,004, tức khoảng 6 chu kì. Kiểm tra E₆ ≈ 0,04902 J.

Ví dụ 3. Dao động có ma sát trượt

Con lắc ngang có m = 100 g, k = 100 N/m, μ = 0,1, A₀ = 2 cm. Thả nhẹ; g = 10 m/s², hệ số ma sát nghỉ bằng hệ số ma sát trượt. Tìm độ giảm biên độ mỗi nửa chu kì, số chu kì, thời gian và quãng đường đến khi dừng.

Fc = 0,1 N. ΔA( $\frac{T}{2}$ ) = $\frac{2 F c}{k}$ = 0,002 m = 0,2 cm. Sau 10 nửa chu kì, vật dừng đúng tại O: N = 5 chu kì.

T₀ = 2π√( $\frac{0,1}{100}$ ) ≈ 0,19869 s; thời gian 5T₀ ≈ 0,99346 s.

S = $\frac{k {A_{0}}^{2}}{2 F c}$ = 100 × $\frac{{0,02}^{2}}{2 \times 0,1}$ = 0,20 m = 20 cm.

Ví dụ 4. Đọc đồ thị có ma sát

Con lắc ngang k = 50 N/m, g = 10 m/s². Đồ thị cho T₀ = $\frac{π}{5}$ s; hai biên đầu +6 cm và −4 cm. Tính khối lượng, độ giảm biên độ mỗi nửa chu kì và μ.

m = $\frac{k {T_{0}}^{2}}{4 π^{2}}$ = 0,5 kg. Độ giảm biên độ nửa chu kì = 6 − 4 = 2 cm = 0,02 m.

μ = $\frac{k Δ A}{2 m g}$ = 50 × $\frac{0,02}{2 \times 0,5 \times 10}$ = 0,1.

Lỗi thường gặp

Cho rằng tần số cưỡng bức ổn định luôn bằng tần số riêng.
Nhầm giảm 10% biên độ với giảm 10% cơ năng.
Cho rằng cộng hưởng làm biên độ vô hạn trong mọi hệ thực.
Áp dụng kết luận về chu kì tắt dần cho mọi dạng ma sát mà không nêu mô hình.

Tự kiểm tra

Câu 1. Ngoại lực có tần số 3 Hz. Tần số cưỡng bức ổn định bằng bao nhiêu?

Xem đáp án và lời giải

Bằng 3 Hz.

Câu 2. Biên độ còn 70% ban đầu. Cơ năng còn và mất bao nhiêu phần trăm?

Xem đáp án và lời giải

Còn 0,7² = 49%; mất 51%.

Câu 3. Con lắc có T₀ = 2 s. Ngoại lực nào dễ gây cộng hưởng khi ma sát nhỏ?

Xem đáp án và lời giải

Ngoại lực có ω gần $\frac{2 π}{T_{0}}$ = π rad/s, chẳng hạn F = F₀cos(πt).

Công thức cần ghi nhớ

Tỉ lệ cơ năng

\frac{E_{2}}{E_{1}} = (\frac{A_{2}}{A_{1}})^{2}

Cộng hưởng khi lực cản nhỏ

f \approx f_{0}

Kích thích do các gờ cách đều

f = \frac{v}{d}

Tắt dần: biên độ và cơ năng giảm. Duy trì: bù năng lượng theo nhịp riêng. Cưỡng bức ổn định: theo nhịp ngoại lực.

Học tiếp và luyện tập

← Tổng hợp Vật lí 11 Chương 1: Dao động