Dãy số

Mục tiêu và kiến thức nền

Hiểu số hạng tổng quát, tính số hạng, xét tăng giảm và bị chặn. Cần biết hàm số, bất đẳng thức và quy tắc biến đổi phân thức.

Dãy số và cách cho

Dãy số vô hạn là hàm số xác định trên các số nguyên dương; ký hiệu (uₙ), số hạng thứ n là uₙ. Dãy hữu hạn có chỉ số trong {1,…,N}. Phân biệt n là vị trí, uₙ là giá trị; uₙ₊₁ là số hạng kế tiếp, còn uₙ+1 là giá trị uₙ cộng 1.

Dãy có thể cho bằng công thức tường minh uₙ=f(n), bằng truy hồi với số hạng đầu và quy tắc tính số hạng sau, hoặc bằng mô tả. Với truy hồi, phải dùng đủ điều kiện ban đầu; không coi vài số hạng đầu là bằng chứng duy nhất cho công thức tổng quát.

Tăng giảm và bị chặn

Dãy tăng khi uₙ₊₁>uₙ với mọi n; giảm khi uₙ₊₁<uₙ. Nếu thay bằng ≥ hoặc ≤ thì gọi không giảm hoặc không tăng. Phương pháp hiệu: xét Δₙ=uₙ₊₁−uₙ. Phương pháp thương chỉ dùng khi uₙ>0 cho mọi n: thương >1 suy ra tăng, <1 suy ra giảm. Nếu số hạng âm hoặc đổi dấu, không áp dụng máy móc tiêu chuẩn thương.

Dãy bị chặn trên khi tồn tại M sao cho uₙ≤M với mọi n; bị chặn dưới khi tồn tại m sao cho uₙ≥m. Bị chặn nghĩa là đồng thời có cả hai. Cận không nhất thiết là một số hạng và không nhất thiết là cận tốt nhất. Dãy tăng không tự động bị chặn; dãy bị chặn không tự động tăng hoặc giảm.

Cách xử lý

Tính số hạng: thay đúng n hoặc lần lượt dùng truy hồi. Tìm vị trí của giá trị a: giải uₙ=a rồi chỉ giữ nghiệm n nguyên dương trong phạm vi dãy. Xét đơn điệu: quy đồng hiệu, phân tích dấu từng nhân tử với n≥1. Xét bị chặn: dùng n≥1, tính không âm của bình phương hoặc so sánh phân thức để tìm hai cận không phụ thuộc n. Muốn chứng minh công thức truy hồi cho mọi n, dùng quy nạp khi phù hợp: kiểm n=1, giả sử đúng ở n, suy ra n+1.

Ghi nhớ

Quan sát vài số hạng giúp dự đoán, không thay chứng minh cho toàn dãy. Truy hồi có mẫu phải bảo đảm mẫu khác 0 ở mỗi bước. Nếu dãy mô tả thời gian/chi phí, n không có đơn vị nhưng uₙ mang đơn vị của đại lượng được đo.

Luyện tập bài này

• Dãy số