Định lí Viète và ứng dụng

Mục tiêu và kiến thức nền

Liên hệ tổng/tích nghiệm, nhẩm nghiệm và tính biểu thức đối xứng. Cần biết điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai.

Định lí và đảo

Nếu x₁,x₂ là nghiệm của ax²+bx+c=0, a≠0, thì S=x₁+x₂=−b/a, P=x₁x₂=c/a. Hai số có tổng S và tích P là nghiệm t²−St+P=0; để hai số thực tồn tại cần S²−4P≥0.

Nếu a+b+c=0 thì x=1 là một nghiệm, nghiệm còn lại c/a. Nếu a−b+c=0 thì x=−1 là một nghiệm, nghiệm còn lại −c/a. Các quy tắc vẫn cần a≠0.

Biểu thức theo nghiệm

x₁²+x₂²=S²−2P; (x₁−x₂)²=S²−4P; 1/x₁+1/x₂=S/P khi P≠0. Muốn xét dấu hai nghiệm thực: P<0 cho trái dấu; P>0 cho cùng dấu và dấu chung theo S. P=0 cần xét một nghiệm bằng 0 riêng.

Phương pháp và ghi nhớ

Kiểm Δ≥0 trước khi dùng Viète để khẳng định tính chất của hai nghiệm thực. Đưa biểu thức cần tính về S,P để tránh giải nghiệm có căn dài. Với biểu thức không đối xứng, có thể cần biết thứ tự x₁,x₂ hoặc thêm điều kiện. Tổng và tích không cho phép kết luận “hai nghiệm dương” nếu chưa biết nghiệm thực và P>0,S>0.

Luyện tập bài này

• Bài 20. Định lí Viète và ứng dụng