TOÁN 8 · TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ PYTHAGORE

Các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông – Toán 8

Hai tam giác vuông đã có sẵn một cặp góc bằng nhau. Vì vậy chỉ cần thêm một góc nhọn bằng nhau là đủ để xét đồng dạng.

Học xong, em làm được gì?

Xét đồng dạng tam giác vuông, lập tỉ lệ và dùng đường cao đến cạnh huyền.

Kiến thức cần nhớ: Tam giác đồng dạng và Pythagore.

Nhìn hình để hiểu

Ảnh minh họa các trường hợp đồng dạng của tam giác vuông. Các ký hiệu và dữ kiện trong đề là căn cứ khi giải bài.

Các dấu hiệu

Hai tam giác vuông đồng dạng nếu có một cặp góc nhọn bằng nhau, hoặc hai cặp cạnh góc vuông tỉ lệ, hoặc cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng tỉ lệ. Cần ghép cạnh huyền với cạnh huyền.

Đường cao tạo các tam giác đồng dạng

Trong ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC, H ∈ BC, các tam giác nhỏ ABH, ACH và tam giác lớn có các góc tương ứng bằng nhau. Ví dụ ΔABH ∼ ΔCBA: A ↔ C, B ↔ B, H ↔ A.

Hệ thức rút từ đồng dạng

Từ các tỉ số đúng có AB² = BH·BC, AC² = CH·BC và AH² = BH·CH. Đây là hệ quả cần hiểu cách suy ra; không áp cho đường cao của tam giác bất kỳ.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Hai tam giác vuông có cạnh huyền 10 và 15 cm, một cặp cạnh góc vuông 6 và 9 cm. Chứng minh đồng dạng.

Tỉ số cạnh huyền $\frac{10}{15}$ = $\frac{2}{3}$ .
Tỉ số cặp cạnh góc vuông $\frac{6}{9}$ = $\frac{2}{3}$ .
Hai tam giác vuông đồng dạng theo cạnh huyền–cạnh góc vuông.

Ví dụ 2

ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC, BH = 4, CH = 9 cm. Tính AH.

Hai tam giác vuông ABH và CAH đồng dạng vì có cặp góc nhọn bằng nhau.
Suy ra $\frac{AH}{BH}$ = $\frac{CH}{AH}$ , tức AH² = BH·CH.
AH² = 36 nên AH = 6 cm.

Lỗi thường gặp

Không ghép cạnh huyền với cạnh góc vuông.
Viết thứ tự đỉnh rồi mới lấy tỉ số.

Em tự thử trước khi mở lời giải

Hai tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau thì?

Xem giải thích

Đã có góc vuông bằng nhau, thêm một góc nhọn bằng nhau cho góc–góc.

Câu 2 · Trả lời ngắn

ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC, BH = 9 cm, CH = 16 cm. AH dài bao nhiêu cm?

Xem lời giải sau khi tự làm

AH² = BH·CH = 144 nên AH = 12 cm.

Câu 3 · Tự luận

Hai tam giác vuông có hai cạnh góc vuông lần lượt 3, 4 và 9, 12. Tỉ số diện tích tam giác nhỏ so với lớn là bao nhiêu?

Xem lời giải sau khi tự làm

Các cạnh góc vuông tỉ lệ $\frac{1}{3}$ nên hai tam giác đồng dạng với k = $\frac{1}{3}$ . Tỉ số diện tích là $\frac{1}{9}$ . Kiểm trực tiếp: (3· $\frac{4}{2}$ )/(9· $\frac{12}{2}$ ) = $\frac{6}{54}$ = $\frac{1}{9}$ .

Câu 4 · Tự luận

ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC; BC = 25 cm, BH = 9 cm. Tính AB.

Xem lời giải sau khi tự làm

ΔABH ∼ ΔCBA cho $\frac{AB}{BC}$ = $\frac{BH}{AB}$ . Suy ra AB² = 25·9 = 225, nên AB = 15 cm.

Câu 5 · Tự luận

Vì sao hai tam giác cùng có một góc vuông chưa chắc đồng dạng?

Xem lời giải sau khi tự làm

Góc nhọn có thể khác nhau. Ví dụ tam giác vuông cân có hai góc 45°, còn tam giác 30°–60°–90° có góc nhọn 30° và 60°. Cần thêm điều kiện nhận biết.

Sơ đồ ghi nhớ

Vuông + một góc nhọn.
Hai cạnh góc vuông tỉ lệ.
Huyền và một cạnh tỉ lệ.
Đường cao tạo tam giác đồng dạng.

Luyện tập và học tiếp

Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.

Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.