Đường thẳng và mặt phẳng song song

Mục tiêu và kiến thức nền

Chứng minh d∥(P), dùng quan hệ song song để tìm giao tuyến/thiết diện. Cần phân biệt đường nằm trong mặt phẳng với đường song song mặt phẳng.

Định nghĩa và tiêu chuẩn

d∥(P) khi d và (P) không có điểm chung. Nếu d không nằm trong (P), đồng thời d song song với một đường a nằm trong (P), thì d∥(P). Điều kiện “d không nằm trong (P)” là bắt buộc; chỉ có d∥a với a⊂(P) chưa đủ loại trường hợp d cũng nằm trong (P).

Nếu d∥(P), mặt phẳng (Q) chứa d và cắt (P) theo giao tuyến a thì a∥d. Nếu d song song với hai mặt phẳng cắt nhau thì d song song giao tuyến của chúng. Những kết luận này chỉ áp dụng khi các giao tuyến và mặt phẳng đã được xác định đúng, không dùng cho hai mặt phẳng trùng nhau.

Cách xử lý

Muốn chứng minh đường thẳng song song mặt phẳng, tìm một đường trung gian trong mặt phẳng: cạnh đáy, đường chéo hoặc đoạn nối các trung điểm. Chứng minh d song song đường trung gian bằng kiến thức phẳng, rồi giải thích vì sao d không thuộc mặt phẳng đích. Trong hình chóp, đường nối trung điểm hai cạnh bên thường song song cạnh đáy tương ứng.

Muốn tìm giao tuyến của mặt phẳng đi qua một đường d song song mặt phẳng đáy, trước hết tìm một điểm chung với đáy; giao tuyến sẽ qua điểm ấy và song song d. Muốn tìm thiết diện, kéo dài các cạnh khi cần để tìm giao tuyến, nhưng khi xác định đa giác thiết diện chỉ nhận các giao điểm nằm trên các cạnh hoặc các mặt của khối.

Lưu ý và ghi nhớ

Một đường song song mặt phẳng không nhất thiết song song với mọi đường trong mặt phẳng; nó có thể chéo với nhiều đường của mặt phẳng. “Không nằm trong” không đồng nghĩa “song song”: đường vẫn có thể cắt mặt phẳng. Trình tự ngắn gọn là tìm đường trung gian → chứng minh song song hai đường → kiểm không thuộc → kết luận.

Luyện tập bài này

• Đường thẳng và mặt phẳng song song