GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 11
Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian
Mục tiêu và kiến thức nền
Đọc hình không gian, xác định mặt phẳng, tìm giao tuyến và giao điểm. Cần biết thẳng hàng, tam giác và quan hệ thuộc trong hình phẳng.
Những quan hệ cơ bản
Qua ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng duy nhất. Một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì toàn bộ đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì giao nhau theo một đường thẳng; mọi điểm chung đều nằm trên giao tuyến ấy.
Một mặt phẳng còn được xác định bởi một đường thẳng và một điểm ngoài nó, bởi hai đường thẳng cắt nhau, hoặc bởi hai đường thẳng song song phân biệt. Hai điểm chỉ xác định đường thẳng, chưa xác định duy nhất mặt phẳng. Ba điểm thẳng hàng cũng không xác định duy nhất mặt phẳng.
Đường thẳng d có thể nằm trong (P), cắt (P) tại một điểm, hoặc song song (P). Khi vẽ hình, nét đứt biểu diễn phần khuất; hình chiếu trên giấy không bảo toàn độ dài, góc vuông hay tỉ lệ của mọi đoạn. Các quan hệ thẳng hàng và song song được sử dụng theo giả thiết, không dựa vào cảm giác nhìn hình.
Cách tìm giao tuyến và giao điểm
Tìm giao tuyến của (P),(Q): tìm hai điểm chung A,B phân biệt, kết luận giao tuyến AB. Nếu chỉ có một điểm chung và có hướng song song đã chứng minh, có thể dựng đường qua điểm đó theo hướng tương ứng rồi chứng minh thuộc cả hai mặt phẳng.
Tìm d∩(P): chọn mặt phẳng phụ (Q) chứa d; xác định a=(P)∩(Q); tìm M=d∩a. Cần chứng minh M vừa thuộc d vừa thuộc (P). Trong hình chóp S.ABCD, dùng các mặt bên chứa S và cạnh đáy để chọn mặt phẳng phụ. Khi cắt hình chóp bằng mặt phẳng, tìm giao điểm với các cạnh, nối các điểm nằm trên cùng mặt; chỉ lấy phần nằm trong khối hình học khi nói về thiết diện.
Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm
“Cùng xuất hiện trên hình vẽ” không có nghĩa đồng phẳng. Một giao điểm của hai nét trên giấy có thể không là giao điểm hai đường trong không gian. Mỗi kết luận giao tuyến phải kèm hai điểm chung hoặc một điểm và phương đã chứng minh; tránh viết tên mặt phẳng bằng ba điểm thẳng hàng.
Ví dụ có lời giải từng bước
Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình bình hành. O là giao điểm AC và BD. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).
- S thuộc cả hai mặt phẳng (SAC) và (SBD).
- O thuộc AC và BD, nên O thuộc cả (SAC) lẫn (SBD).
- S không thuộc mặt phẳng đáy, còn O thuộc đáy, nên S khác O. Hai mặt phẳng phân biệt giao nhau theo SO.
Một giao tuyến cần hai điểm chung phân biệt. Hình không gian là hình biểu diễn, không dùng độ dài hay góc nhìn trên giấy làm giả thiết.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Ba điểm thẳng hàng có xác định duy nhất một mặt phẳng không?
Không. Có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng qua ba điểm đó.
Có thể dùng riêng điểm S để kết luận giao tuyến là SO không?
Chưa đủ. Phải chứng minh thêm O là điểm chung và O khác S; hoặc chứng minh một hướng giao tuyến phù hợp.
Tóm tắt và học tiếp
Một giao tuyến cần hai điểm chung phân biệt. Hình không gian là hình biểu diễn, không dùng độ dài hay góc nhìn trên giấy làm giả thiết.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.