GIA SƯ SV · TOÁN · LỚP 11
Hai đường thẳng song song
Mục tiêu và kiến thức nền
Phân biệt song song và chéo nhau, chứng minh song song bằng hình phẳng trong mặt phẳng thích hợp. Cần biết đường trung bình và các định lí Thales.
Vị trí tương đối
Hai đường thẳng phân biệt trong không gian có thể cắt nhau, song song hoặc chéo nhau. Song song nghĩa là đồng phẳng và không có điểm chung. Chéo nhau nghĩa là không cùng nằm trong một mặt phẳng; hai đường chéo nhau cũng không có điểm chung, vì vậy “không giao nhau” chưa đủ kết luận song song.
Qua một điểm ngoài một đường thẳng có duy nhất một đường thẳng song song với đường đó. Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thứ ba thì song song với nhau. Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song.
Phương pháp chứng minh
Đặt hai đường vào cùng một mặt phẳng đã xác định rồi dùng hình bình hành, đường trung bình tam giác, định lí Thales đảo, hoặc tính chất hai đường cùng song song với đường thứ ba. Với trung điểm trên hai cạnh của một mặt tam giác, đoạn nối trung điểm song song cạnh còn lại và dài bằng nửa cạnh ấy; phải xác định đúng mặt tam giác chứa hai điểm.
Tìm giao tuyến hai mặt phẳng khi mỗi mặt chứa một đường song song nhau: nếu hai mặt cắt nhau và giao tuyến tồn tại, giao tuyến có cùng phương với hai đường đó. Muốn dựng giao tuyến, vẫn cần một điểm chung. Với bài tỉ số, xét các tam giác đồng dạng trong cùng mặt phẳng thay vì sử dụng tỉ số dựa trên hình phối cảnh.
Nhận biết chéo nhau
Một cách là giả sử hai đường đồng phẳng, suy ra một điểm không thể thuộc mặt phẳng đã xác định. Cách khác: một đường nằm trong (P), đường kia cắt (P) tại điểm không nằm trên đường thứ nhất; khi đó chúng chéo nhau, vì nếu đồng phẳng thì giao tuyến của hai mặt phẳng buộc chứa điểm cắt ấy.
Ghi nhớ
Không gọi hai đường trùng nhau là hai đường song song phân biệt. Hai đường lần lượt nằm trong hai mặt phẳng song song có thể chéo nhau. Muốn dùng định lí phẳng phải nêu mặt phẳng chứa các đối tượng.
Ví dụ có lời giải từng bước
Trong hình chóp S.ABCD, M và N lần lượt là trung điểm SA, SB. Chứng minh MN song song AB.
- S, A, B không thẳng hàng, nên xác định tam giác SAB trong mặt phẳng (SAB).
- M thuộc SA và N thuộc SB, đồng thời SM = MA và SN = NB.
- Theo định lí đường trung bình trong tam giác SAB, MN ∥ AB và MN = AB/2.
Chứng minh song song trong không gian có thể quy về một tam giác phẳng xác định. Hai đường không giao nhau chưa chắc song song, vì có thể chéo nhau.
Tự kiểm tra
Thử trả lời rồi mới mở lời giải.
Trong hình chóp S.ABCD có đáy không suy biến, SA và BC có chéo nhau không?
Có. SA cắt mặt phẳng đáy tại A, mà A không thuộc BC. Nếu SA và BC đồng phẳng thì mặt phẳng đó chứa cả A và BC, chính là đáy, mâu thuẫn S ở ngoài đáy.
Nếu chỉ biết M thuộc SA và N thuộc SB thì MN có luôn song song AB không?
Không. Cần điều kiện tỉ lệ, ví dụ SM/SA = SN/SB, hoặc cùng là trung điểm.
Tóm tắt và học tiếp
Chứng minh song song trong không gian có thể quy về một tam giác phẳng xác định. Hai đường không giao nhau chưa chắc song song, vì có thể chéo nhau.
Học xong? Làm bộ luyện tập bên dưới, xem lời giải sau khi tự làm và luyện lại câu sai trong kết quả.
Luyện tập bài này
Biên soạn và hình minh họa: Gia Sư SV. Kế thừa chương tương ứng; ví dụ, lời giải và hình minh họa mới do Gia Sư SV biên soạn.