TOÁN 8 · TỨ GIÁC VÀ CÁC HÌNH ĐẶC BIỆT
Hình chữ nhật: đường chéo và cách chứng minh – Toán 8
Khung cửa có bốn góc vuông. Khi chứng minh hình chữ nhật, ta thường chứng minh hình bình hành trước rồi thêm một góc vuông hoặc hai đường chéo bằng nhau.
Dùng tính chất đường chéo và dấu hiệu hình chữ nhật; vận dụng trung tuyến tam giác vuông.
Kiến thức cần nhớ: Hình bình hành và góc vuông.
Nhìn hình để hiểu
Định nghĩa
Hình chữ nhật là tứ giác có bốn góc vuông. Nó là hình bình hành đặc biệt nên có cạnh đối bằng nhau, song song và đường chéo chia đôi nhau.
Đường chéo
Hai đường chéo hình chữ nhật bằng nhau. Nếu cắt tại O thì OA = OB = OC = OD. Điều này không có nghĩa hai đường chéo vuông góc; đó chỉ xảy ra khi hình chữ nhật đồng thời là hình vuông.
Dấu hiệu và trung tuyến
Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Hình bình hành có một góc vuông hoặc có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật. Trong tam giác vuông, trung tuyến tới cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền; ngược lại, nếu một trung tuyến bằng nửa cạnh đối diện thì tam giác vuông tại đỉnh xuất phát của trung tuyến.
Ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1
Hình chữ nhật ABCD có AC = 10 cm. O là giao hai đường chéo. Tính OB.
- AC = BD = 10 cm.
- O là trung điểm BD.
- OB = 5 cm.
Ví dụ 2
Hình bình hành ABCD có góc A = 90°. Chứng minh là hình chữ nhật.
- Góc đối C bằng A nên C = 90°.
- Góc B và D bù với A nên cũng bằng 90°.
- Bốn góc vuông, vì vậy ABCD là hình chữ nhật.
Lỗi thường gặp
- Đường chéo bằng nhau chỉ đủ khi đã có hình bình hành.
- Trung tuyến bằng nửa cạnh huyền không phải mọi trung tuyến.
Em tự thử trước khi mở lời giải
Hình bình hành thêm điều kiện nào chắc chắn là hình chữ nhật?
Xem giải thích
Hai đường chéo bằng nhau là dấu hiệu hình chữ nhật trong một hình bình hành.
Câu 2 · Trả lời ngắn
Hình chữ nhật có chu vi 34 cm và chiều rộng 7 cm. Chiều dài bằng bao nhiêu cm?
Xem lời giải sau khi tự làm
Tổng dài và rộng là 34:2 = 17 cm; dài = 17 − 7 = 10 cm.
Câu 3 · Tự luận
Tam giác ABC vuông tại A, BC = 13 cm; M là trung điểm BC. Tính AM.
Xem lời giải sau khi tự làm
AM là trung tuyến ứng với cạnh huyền nên AM = = 6,5 cm.
Câu 4 · Tự luận
ABCD là hình bình hành, hai đường chéo cắt tại O và OA = OB. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
Xem lời giải sau khi tự làm
Vì là hình bình hành nên AC = 2OA, BD = 2OB. OA = OB suy ra AC = BD. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
Câu 5 · Tự luận
Hình chữ nhật dài 9 cm, rộng 4 cm. Tính diện tích và chu vi.
Xem lời giải sau khi tự làm
S = 9·4 = 36 cm²; P = 2(9 + 4) = 26 cm. Đơn vị diện tích và chu vi khác nhau.
Sơ đồ ghi nhớ
- Bốn góc vuông.
- Kế thừa hình bình hành.
- Hai đường chéo bằng nhau.
- Bốn nửa đường chéo bằng nhau.
Luyện tập và học tiếp
Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.