Toán 11 – Chương 1 – Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Mục tiêu và kiến thức nền

Đọc được góc có hướng, đổi độ–radian, xác định dấu và giá trị lượng giác. Cần biết đường tròn, tọa độ điểm và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Góc lượng giác và đường tròn lượng giác

Góc lượng giác mô tả một phép quay từ tia đầu đến tia cuối. Chiều ngược kim đồng hồ được quy ước dương; chiều kim đồng hồ âm. Các góc có cùng tia đầu và tia cuối sai khác k·360° hoặc k·2π rad, k nguyên. Một vòng bằng 2π rad; α rad = α·180°/π, còn a° = aπ/180 rad. Không cộng trực tiếp số đo độ và radian.

Trên đường tròn đơn vị tâm O, điểm M ứng với góc α có tọa độ (cos α; sin α). Vì vậy −1 ≤ sin α, cos α ≤ 1 và sin²α + cos²α = 1. Khi cos α ≠ 0, tan α = sin α/cos α; khi sin α ≠ 0, cot α = cos α/sin α. Chỉ dùng tan α·cot α = 1 khi cả hai có nghĩa.

Giá trị và dấu cần nhớ

Với α = 0, π/6, π/4, π/3, π/2, sin α lần lượt là 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos α lần lượt là 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0. Dấu sin theo tung độ, dấu cos theo hoành độ; tan và cot cùng dấu khi sin, cos cùng dấu. Ở góc phần tư I tất cả dương; II chỉ sin dương; III tan và cot dương; IV chỉ cos dương.

Các góc liên quan: sin(−α)=−sin α, cos(−α)=cos α; sin(π−α)=sin α, cos(π−α)=−cos α; sin(π+α)=−sin α, cos(π+α)=−cos α; sin(π/2−α)=cos α, cos(π/2−α)=sin α. Sin và cos lặp lại sau 2π; tan, cot sau π ở những điểm xác định.

Cách xử lý

Đưa góc về một vòng, xác định góc phần tư rồi dùng góc đặc biệt hoặc góc liên quan. Nếu biết sin α và cần cos α, tính cos²α=1−sin²α, sau đó chọn dấu theo khoảng của α. Khi tính bằng máy, chọn DEG cho độ và RAD cho radian. Độ dài cung s=R|α| khi α tính bằng radian, R là bán kính; không dùng trực tiếp số đo độ trong công thức này.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Góc có thể âm hoặc lớn hơn một vòng. Biết bình phương chưa xác định được dấu. Tan không xác định tại π/2+kπ; cot không xác định tại kπ. Luôn ghi điều kiện trước khi chia cho sin hoặc cos.

Luyện tập bài này

• Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Trắc nghiệm
• Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác – Tự luận

Toán 11 – Chương 1 – Công thức lượng giác

Mục tiêu và kiến thức nền

Biến đổi biểu thức, tính giá trị và chọn công thức thích hợp. Cần biết các giá trị lượng giác, điều kiện của tan/cot và hằng đẳng thức đại số.

Công thức cộng và nhân đôi

sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b; sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b.

cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b; cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b.

tan(a±b)=(tan a±tan b)/(1∓tan a tan b), với tan a, tan b và hai vế đều xác định, mẫu khác 0.

sin 2a=2sin a cos a. cos 2a=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a. Do đó sin²a=(1−cos 2a)/2 và cos²a=(1+cos 2a)/2. tan 2a=2tan a/(1−tan²a) chỉ áp dụng khi các biểu thức có nghĩa.

Đổi tổng và tích

sin a+sin b=2sin((a+b)/2)cos((a−b)/2).

sin a−sin b=2cos((a+b)/2)sin((a−b)/2).

cos a+cos b=2cos((a+b)/2)cos((a−b)/2).

cos a−cos b=−2sin((a+b)/2)sin((a−b)/2).

2sin a cos b=sin(a+b)+sin(a−b); 2cos a cos b=cos(a+b)+cos(a−b); 2sin a sin b=cos(a−b)−cos(a+b).

Cách nhận biết và biến đổi

Gặp góc là tổng/hiệu của hai góc quen thuộc, dùng công thức cộng. Gặp tích sin a cos a, dùng sin 2a. Gặp bình phương và cần hạ bậc, dùng các biểu thức theo cos 2a. Gặp tổng hai sin/cos cần tìm nhân tử hoặc giải phương trình, đổi tổng thành tích. Gặp tích hai hàm có góc khác nhau, đổi tích thành tổng để gom các góc.

Khi chứng minh đẳng thức, xác định miền chung của hai vế; thường biến đổi vế phức tạp về vế đơn giản. Có thể quy tan/cot về sin/cos và dùng sin²a+cos²a=1. Không chia hai vế cho một biểu thức có thể bằng 0 nếu chưa xét riêng trường hợp đó. Nếu tìm sin(a/2) từ công thức hạ bậc, dấu của căn phải theo khoảng chứa a/2.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Dấu trừ trong cos(a+b) khác dấu cộng trong sin(a+b). sin(a+b) không bằng sin a+sin b. Công thức là đẳng thức trên miền xác định, không tự tạo nghiệm cho biểu thức vốn vô nghĩa. Giữ nguyên số đo radian hoặc độ nhất quán từ đầu đến cuối.

Luyện tập bài này

• Bài 2: Công thức lượng giác – Trắc nghiệm
• Bài 2: Công thức lượng giác – Tự luận

Toán 11 – Chương 1 – Hàm số lượng giác

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận biết tập xác định, tập giá trị, tính chẵn lẻ, chu kì, các khoảng đơn điệu và đọc đồ thị. Cần nắm đường tròn lượng giác và khái niệm hàm số.

Bốn hàm cơ bản

y=sin x: xác định trên ℝ, tập giá trị [−1;1], là hàm lẻ, chu kì cơ bản 2π; tăng trên [−π/2+2kπ;π/2+2kπ], giảm trên [π/2+2kπ;3π/2+2kπ].

y=cos x: xác định trên ℝ, tập giá trị [−1;1], là hàm chẵn, chu kì cơ bản 2π; giảm trên [2kπ;π+2kπ], tăng trên [−π+2kπ;2kπ].

y=tan x: loại x=π/2+kπ; tập giá trị ℝ, hàm lẻ, chu kì cơ bản π; tăng trên từng khoảng (−π/2+kπ;π/2+kπ).

y=cot x: loại x=kπ; tập giá trị ℝ, hàm lẻ, chu kì cơ bản π; giảm trên từng khoảng (kπ;π+kπ). Trong các mô tả này k là số nguyên. Không kết luận tan hoặc cot đơn điệu trên toàn miền gồm nhiều khoảng bị ngắt.

Biến đổi đồ thị và miền giá trị

Với y=A sin(ωx+φ)+b hoặc A cos(ωx+φ)+b, nếu Aω ≠ 0 thì biên độ là |A|, đường giữa là y=b, chu kì cơ bản T=2π/|ω| và miền giá trị [b−|A|;b+|A|]. Nếu A=0 hoặc ω=0, hàm là hằng và không dùng công thức chu kì cơ bản này. Với A tan(ωx+φ)+b, Aω ≠ 0, chu kì là π/|ω|, nhưng tập xác định vẫn phải loại các điểm làm cos(ωx+φ)=0.

Cách xử lý từng dạng

Tìm tập xác định: kiểm mẫu, căn và điều kiện của từng hàm; giải các điều kiện đồng thời. Tìm cực trị của biểu thức tuyến tính theo sin/cos: dùng −1≤sin,cos≤1 và kiểm khả năng đạt dấu bằng. Với biểu thức nhiều hàm, biến đổi về một hàm hoặc đặt t có miền giá trị rõ ràng, không coi sin x và cos x độc lập. Đọc đồ thị: xác định đường giữa, biên độ, khoảng cách giữa hai đỉnh cùng dạng, sau đó đối chiếu dấu/pha tại một điểm.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Chẵn nghĩa là f(−x)=f(x), lẻ nghĩa là f(−x)=−f(x) trên miền đối xứng. Tịnh tiến pha thường làm mất tính chẵn/lẻ. Biên độ luôn không âm; chu kì là độ dài dương. Khi xét một đoạn hữu hạn, giá trị ±1 của sin/cos có thể không đạt trên đoạn ấy.

Luyện tập bài này

• Bài 3: Hàm số lượng giác – Trắc nghiệm
• Bài 3: Hàm số lượng giác – Tự luận

Toán 11 – Chương 1 – Phương trình lượng giác cơ bản

Mục tiêu và kiến thức nền

Giải đúng các phương trình sin, cos, tan, cot; viết nghiệm tổng quát và chọn nghiệm trên khoảng. Cần biết đường tròn lượng giác, công thức liên quan và tập xác định.

Các dạng cơ bản

sin x=a có nghiệm khi |a|≤1. Chọn α với sin α=a; nghiệm x=α+2kπ hoặc x=π−α+2kπ. Có thể chọn α=arcsin a thuộc [−π/2;π/2].

cos x=a có nghiệm khi |a|≤1. Đặt α=arccos a thuộc [0;π]; nghiệm x=±α+2kπ.

tan x=a: chọn α=arctan a thuộc (−π/2;π/2), nghiệm x=α+kπ. cot x=a: chọn một α∈(0;π) sao cho cot α=a, nghiệm x=α+kπ. Ở mọi công thức k∈ℤ. Nếu dùng độ, thay π bằng 180° và 2π bằng 360°.

Với hai biểu thức u,v: sin u=sin v dẫn đến u=v+2kπ hoặc u=π−v+2kπ; cos u=cos v dẫn đến u=±v+2kπ; tan u=tan v hoặc cot u=cot v dẫn đến u=v+kπ, kèm điều kiện xác định ban đầu.

Phương pháp giải

Bước đầu ghi tập xác định, nhất là khi có tan, cot hoặc mẫu. Biến đổi về phương trình cơ bản; giải riêng từng nhánh; hợp các họ nghiệm và loại nghiệm không thỏa điều kiện. Với sin(ax+b)=c, giải ax+b theo hai nhánh rồi mới chia a; nếu a=0 xét phương trình hằng riêng. Khi giới hạn x∈[m;n], thay mỗi họ nghiệm vào bất đẳng thức m≤x≤n để tìm các giá trị nguyên k; đầu mút mở phải dùng dấu nghiêm.

Phương trình tích P(x)Q(x)=0 được tách thành P(x)=0 hoặc Q(x)=0 trên miền xác định. Không rút gọn nhân tử bằng phép chia làm mất nghiệm. Nếu đặt t=sin x hoặc cos x để giải phương trình bậc hai, chỉ giữ t∈[−1;1], rồi giải lại phương trình lượng giác cho từng giá trị t.

Ghi nhớ và lỗi dễ nhầm

Máy tính thường chỉ trả một giá trị góc chính, chưa phải toàn bộ nghiệm. Các trường hợp sin x=0, sin x=±1 hoặc cos x=±1 có thể gộp họ nghiệm để tránh đếm trùng. Không bình phương rồi nhận tất cả nghiệm mà bỏ qua việc đối chiếu phương trình ban đầu.

Luyện tập bài này

• Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản – Trắc nghiệm
• Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản – Tự luận