Gia Sư SV · Học chắc từng bước

Toán 12 Chương 4: Nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm đảo thao tác đạo hàm trên một khoảng và có hằng số C; tích phân xác định là một số có dấu. Khi ứng dụng, phân biệt độ dời với quãng đường và tích phân có dấu với diện tích. Xác định giao điểm, chia khoảng đổi dấu, dựng đúng bán kính hoặc diện tích thiết diện. Đổi biến cần đổi đồng bộ biểu thức, vi phân và cận.

Chọn bài cần học

2 bài · 8 ví dụ có lời giải · 2 sơ đồ tư duy

Bài 1. Nguyên hàm và tích phân
Bài 2. Ứng dụng tích phân

Học theo thứ tự: kiến thức → ví dụ → tự kiểm tra → sơ đồ. Bảng và hình có thể vuốt ngang trong khung khi xem trên điện thoại.

Bài 1 · Toán 12 · Chương 4

Bài 1. Nguyên hàm và tích phân

Mục tiêu: Nhận biết nguyên hàm, tính tích phân và dùng điều kiện ban đầu. Cần nắm đạo hàm, hàm hợp, số mũ–logarit và lượng giác.

Nguyên hàm

F là nguyên hàm của f trên một khoảng nếu F′(x)=f(x) tại mọi điểm của khoảng. Mọi nguyên hàm có dạng F(x)+C trên khoảng đó.

Các công thức: ∫x^α dx=x^α+1α+1+C với α≠−1 trên miền hàm có nghĩa; ∫1x dx=ln|x|+C trên mỗi khoảng không chứa 0; ∫e^x dx=e^x+C; ∫a^x dx=a^xlna+C với a>0,a≠1. ∫cosx dx=sinx+C; ∫sinx dx=−cosx+C; ∫1cos²x dx=tanx+C; ∫1sin²x dx=−cotx+C trên các khoảng xác định.

Nguyên hàm tuyến tính: nguyên hàm tổng/hiệu bằng tổng/hiệu nguyên hàm, hằng số được đưa ra ngoài. Không có quy tắc “nguyên hàm tích bằng tích nguyên hàm”. Với hàm hợp, kiểm đạo hàm bên trong: ∫g^′(x)e^g(x) dx=e^g(x)+C và ∫g^′(x)g(x) dx=ln|g(x)|+C khi g≠0. Trường hợp g=ax+b, a≠0, thường xuất hiện hệ số 1a.

Tích phân xác định

Nếu f liên tục trên [a;b] và F′=f thì ∫baf(x) dx=F(b)−F(a). Đảo cận đổi dấu; hai cận bằng nhau cho 0; có thể tách tại c: ∫baf(x) dx=∫caf(x) dx+∫bcf(x) dx. Biến x trong tích phân là biến lấy tích phân; đổi tên nó không đổi giá trị. Tích phân xác định là một số, không cộng C vào đáp số.

Phương pháp

Rút gọn biểu thức, đưa về tổng các dạng cơ bản hoặc nhận cấu trúc hàm hợp. Nếu dùng đổi biến t=g(x), đổi cả vi phân và hai cận, không trộn biến cũ với cận mới. Khi tìm hàm từ F′ và F(x₀), tính nguyên hàm tổng quát rồi thế điều kiện để tìm C. Dùng đạo hàm kiểm lại công thức mới tìm là cách soát chính nội dung tính toán.

Ghi nhớ

Tích phân có dấu, khác diện tích hình phẳng. Không áp dụng Newton–Leibniz qua điểm mà hàm không liên tục/vô nghĩa mà không xử lý điều kiện. Luôn giữ dấu âm của nguyên hàm sin x và trị tuyệt đối trong ln|x|.

Bảng nguyên hàm cần nhớ
f(x)	Một họ nguyên hàm	Điều kiện
xᵅ	x^α+1α+1+C	α ≠ −1; trên khoảng xác định
1/x	ln\|x\| + C	Khoảng không chứa 0
eˣ	e^x + C	x ∈ ℝ
aˣ	a^xlna+C	a > 0, a ≠ 1
cos x; sin x	sin x + C; −cos x + C	Đối số radian
1/cos²x; 1/sin²x	tan x + C; −cot x + C	Trên khoảng xác định

Tam giác dưới y = 2x trên [0; 1] có diện tích 1; minh họa tích phân khi hàm không âm. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1.1. Nguyên hàm của đa thức

Tìm ∫(3x²−2x+4) dx.

Lấy nguyên hàm từng hạng tử: ∫3x² dx = x³; ∫(−2x) dx = −x²; ∫4 dx = 4x.
Gộp và thêm một hằng số C. Lấy đạo hàm để kiểm lại.

Kết luận: x³ − x² + 4x + C.

Ví dụ 1.2. Hàm hợp và hệ số bên trong

Tìm ∫e^2x+1 dx.

Đạo hàm của e^2x+1 là 2e^2x+1. Vì vậy cần nhân nguyên hàm với 12.
Kiểm: [12e^2x+1]′ = e^2x+1.

Kết luận: 12e^2x+1 + C.

Ví dụ 1.3. Điều kiện ban đầu

Biết F′(x) = 2x + 1 và F(0) = 3. Tìm F(x).

Một nguyên hàm tổng quát là F(x) = x² + x + C.
Thế x = 0: F(0) = C = 3.

Kết luận: F(x) = x² + x + 3.

Ví dụ 1.4. Tích phân xác định

Tính ∫10(2x+1) dx.

Chọn nguyên hàm F(x) = x² + x.
Áp dụng Newton–Leibniz: F(1) − F(0) = (1 + 1) − 0 = 2.

Kết luận: giá trị tích phân là 2; không cộng C vào kết quả.

Tự kiểm tra

∫cos(3x) dx bằng gì?
Nếu ∫ từ 1 đến 3 của f bằng 7 thì ∫ từ 3 đến 1 bằng gì?

Xem đáp án và giải thích

(13)sin(3x) + C.
−7.

Mở các bài luyện tập liên quan

Các liên kết dưới đây là đề tổng hợp đã có trên website. Khi ôn bài này, chọn các câu đúng chủ đề; đề không chỉ gồm riêng nội dung vừa học.

Sơ đồ tư duy cuối bài 1

Bốn nhánh kiến thức để tự nhắc lại sau khi học. Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Đọc sơ đồ bằng chữ

Nhận diện: F là nguyên hàm của f khi F′ = f; Họ nguyên hàm: F + C trên một khoảng.
Tính nguyên hàm: Tách tổng; dùng bảng công thức; Hàm hợp: kiểm đạo hàm bên trong.
Tích phân xác định: ∫ từ a đến b của f = F(b) − F(a); Đảo cận đổi dấu; kết quả là một số.
Soát lại: Đạo hàm nguyên hàm để kiểm; Giữ điều kiện xác định; không đi qua điểm đứt.

↑ Trở về mục lục chương · Chọn chương Toán 12

Cần người hướng dẫn thêm? Liên hệ Gia Sư SV: 0946 99 62 68 để tìm gia sư phù hợp.

Bài 2 · Toán 12 · Chương 4

Bài 2. Ứng dụng tích phân

Mục tiêu: Tính diện tích, thể tích và đại lượng tích lũy bằng tích phân. Cần biết tích phân xác định, giao điểm và dấu của hàm.

Diện tích hình phẳng

Diện tích giới hạn bởi y=f(x), trục Ox và x=a,b là S=∫ba|f(x)| dx khi a<b và f liên tục. Giữa hai đồ thị y=f(x),y=g(x), S=∫ba|f(x)−g(x)| dx. Tìm các nghiệm f−g=0 trong [a;b] để chia khoảng; trên mỗi khoảng lấy hàm trên trừ hàm dưới.

Không lấy trị tuyệt đối của toàn tích phân khi biểu thức đổi dấu, vì các phần có thể triệt tiêu trước khi lấy trị tuyệt đối.

Thể tích

Nếu thiết diện vuông góc trục Ox tại x có diện tích A(x), thể tích V=∫baA(x) dx, với mô hình thiết diện và khoảng giới hạn đúng. Vật thể tròn xoay tạo bởi miền giữa y=f(x), Ox và hai đường x=a,b quay quanh Ox có V=π∫ba[f(x)]² dx.

Miền có lỗ rỗng dùng π∫(R²−r²) dx với R≥r≥0 là bán kính ngoài/trong đo tới trục quay, không tự coi f,g là bán kính nếu chúng ở hai phía trục.

Chuyển động và tích lũy

Nếu biết vận tốc v(t), độ dời từ t₁ đến t₂ là ∫v(t) dt; quãng đường là ∫|v(t)| dt. Khi v đổi dấu phải chia các khoảng. Nếu biết tốc độ cung cấp q(t) có đơn vị lít/phút thì lượng thêm vào bằng ∫q(t) dt theo thời gian phút; có lượng chảy ra thì dùng tốc độ ròng. Đại lượng ban đầu phải cộng vào tích lũy để có đại lượng cuối.

Phương pháp và ghi nhớ

Vẽ phác hoặc đọc sơ đồ để chọn biến/cận; xác định hàm chiều cao, bán kính hoặc diện tích thiết diện; kiểm đơn vị; lập tích phân rồi tính. Diện tích có đơn vị bình phương, thể tích đơn vị lập phương. Với đối xứng có thể tính một phần rồi nhân hệ số, nhưng cần chứng minh đối xứng.

Công thức V=π∫f² dx chỉ dành đúng kiểu quay quanh trục đã nêu; trục dịch chuyển thì bán kính phải là khoảng cách đến trục mới.

Nhận dạng ứng dụng
Cần tính	Biểu thức tích phân	Điều cần kiểm
Diện tích giữa hai đồ thị	∫\|f−g\| dx	Giao điểm và dấu f − g
Thể tích theo thiết diện	∫A(x) dx	A là diện tích thiết diện
Tròn xoay quanh Ox	π∫[f(x)]² dx	Miền giữa f và Ox
Quãng đường	∫\|v(t)\| dt	Các thời điểm đổi dấu vận tốc

Trên [0; 1], y = x ở trên y = x² nên diện tích lấy tích phân của x − x². Trên điện thoại, có thể vuốt ngang trong khung hình để xem rõ.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 2.1. Diện tích giữa hai đồ thị

Tính diện tích giới hạn bởi y = x và y = x².

Giải x = x² được x = 0 và x = 1. Trên [0; 1], x ≥ x².
S=∫10(x−x²) dx=[x²2−x³3]10.

Kết luận: S = 12 − 13 = 16 đơn vị diện tích.

Ví dụ 2.2. Diện tích qua điểm đổi dấu

Tính diện tích giữa y = x, Ox và hai đường x = −1, x = 1.

Hàm x âm trên [−1; 0], dương trên [0; 1].
S=∫0−1(−x) dx+∫10x dx=12+12.

Kết luận: S = 1; tích phân có dấu của x trên [−1; 1] bằng 0 nhưng diện tích không bằng 0.

Ví dụ 2.3. Thể tích tròn xoay

Quay miền dưới y = x, phía trên Ox, từ x = 0 đến x = 2 quanh Ox. Tính thể tích.

Thiết diện vuông góc Ox là hình tròn bán kính r = x, diện tích πx².
V=π∫20x² dx=π[x³3]20.

Kết luận: V = 8π3 đơn vị thể tích.

Ví dụ 2.4. Độ dời và quãng đường

Một chất điểm có v(t) = 2t − 2 m/s, 0 ≤ t ≤ 3. Tính độ dời và quãng đường.

Vận tốc bằng 0 tại t = 1; âm trước 1 và dương sau 1.
Độ dời: [t²−2t]30 = 3 m.
Quãng đường: ∫10(2−2t) dt+∫31(2t−2) dt=1+4.

Kết luận: độ dời 3 m; quãng đường 5 m.