Tổng kết chương/chủ đề
Căn bậc hai số học chỉ xác định với biểu thức không âm và cho giá trị không âm; √(A²)=|A|. Tách/gộp căn và trục căn ở mẫu cần điều kiện. Khi bình phương phương trình, phép biến đổi có thể sinh nghiệm ngoại lai; kiểm lại điều kiện và phương trình ban đầu. Căn bậc ba xác định với mọi số thực và giữ dấu.
Mục lục bài học
- Toán 9 – Bài 7 – Căn bậc hai và căn thức bậc hai
- Toán 9 – Bài 8 – Khai căn với phép nhân và chia
- Toán 9 – Bài 9 – Biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn
- Toán 9 – Bài 10 – Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Toán 9 – Bài 7 – Căn bậc hai và căn thức bậc hai
Mục tiêu và kiến thức nền
Tìm điều kiện căn thức, tính và so sánh căn. Cần biết bình phương, giá trị tuyệt đối và bất phương trình.
Khái niệm
Với a≥0, √a là số không âm có bình phương bằng a. Với a>0 phương trình x²=a có hai nghiệm ±√a; với a=0 chỉ có 0. Căn thức √A có nghĩa khi A≥0. Hằng đẳng thức √(A²)=|A|, không luôn bằng A.
Phương pháp
Tìm điều kiện bằng cách giải A(x)≥0, đồng thời kiểm các mẫu trong A nếu có. So sánh √a,√b khi a,b≥0 bằng cách so a,b. Muốn bỏ căn √(A²), xét dấu A theo miền đề cho. Với phương trình √A=B, điều kiện B≥0 và A=B² là tương đương; không chỉ bình phương rồi bỏ điều kiện B.
Ghi nhớ
Ký hiệu căn số học cho một giá trị không âm. √(x²) bằng x khi x≥0 và bằng −x khi x<0. Căn của tổng không bằng tổng căn. Khi dùng gần đúng, giữ đủ chữ số trong bước trung gian và chỉ làm tròn theo yêu cầu cuối.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 8 – Khai căn với phép nhân và chia
Mục tiêu và kiến thức nền
Tách hoặc gộp căn có điều kiện để tính nhanh. Cần biết căn số học và phân tích số thành nhân tử.
Công thức
√(AB)=√A·√B khi A≥0,B≥0. √(A/B)=√A/√B khi A≥0,B>0. Các điều kiện bảo đảm cả hai vế có nghĩa trong số thực. Không áp dụng tách căn nếu hai thừa số đều âm dù tích của chúng dương.
Phương pháp
Tính căn của số lớn bằng cách phân tích thành bình phương nhân số còn lại. Khi nhân hai căn, có thể gộp để số dưới căn thành bình phương. Với thương, rút gọn phân số dưới căn trước hoặc tách tử/mẫu nếu điều kiện đúng. Trong biểu thức chứa biến, ghi miền cho từng căn và mẫu trước khi dùng công thức.
Ví dụ về cấu trúc
Nếu A² là nhân tử, √(A²B)=|A|√B với B≥0; chỉ thay |A| bằng A khi đã biết A≥0. Đây là cầu nối sang phép đưa thừa số ra ngoài căn.
Ghi nhớ
Không tách căn một hiệu/tổng như tích. Mẫu √B đòi B>0, không chỉ B≥0. Rút gọn không làm mất điều kiện ban đầu, kể cả khi biểu thức cuối không còn mẫu hoặc căn.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 9 – Biến đổi và rút gọn biểu thức chứa căn
Mục tiêu và kiến thức nền
Đưa thừa số ra/vào căn, trục căn thức mẫu và rút gọn phân thức chứa căn. Cần biết giá trị tuyệt đối và hằng đẳng thức.
Biến đổi cơ bản
√(A²B)=|A|√B khi B≥0. Đưa thừa số c≥0 vào căn: c√B=√(c²B); với c<0 giữ dấu âm ngoài căn. Các căn đồng dạng a√m+b√m=(a+b)√m sau khi đã rút gọn số dưới căn.
Trục căn thức ở mẫu
Với B>0, A/√B=A√B/B. Nếu mẫu là √A±√B, nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp √A∓√B; tích mẫu thành A−B. Cần A,B≥0 và mẫu gốc khác 0; nếu A=B làm mẫu liên hợp mới bằng 0 phải xét dạng cụ thể, không áp dụng mù quáng.
Phương pháp
Ghi điều kiện; phân tích tử/mẫu bằng hằng đẳng thức hoặc đặt t=√x (t≥0); quy đồng và rút gọn nhân tử chung; trả về biến x và giữ điều kiện. Nếu tiếp theo giải phương trình/bất phương trình từ biểu thức rút gọn, chỉ nhận nghiệm nằm trong miền gốc. Với phương trình chứa căn, cô lập căn, kiểm dấu vế kia rồi bình phương, cuối cùng đối chiếu nghiệm.
Ghi nhớ
Chỉ rút gọn nhân tử chung, không rút một số hạng của tổng. (√A−√B)²=A+B−2√(AB), không bằng A−B. Không quên dấu |A| khi đưa A² ra khỏi căn.
Luyện tập bài này
Toán 9 – Bài 10 – Căn bậc ba và căn thức bậc ba
Mục tiêu và kiến thức nền
Hiểu căn bậc ba của mọi số thực và biến đổi đúng dấu. Cần biết lũy thừa bậc ba.
Khái niệm
Căn bậc ba ∛a là số thực duy nhất x thỏa x³=a. Nó xác định với mọi a thực, kể cả âm. ∛(a³)=a, khác với √(a²)=|a|. Hàm căn bậc ba tăng: a<b kéo theo ∛a<∛b.
Công thức
∛(ab)=∛a·∛b với mọi a,b thực; ∛(a/b)=∛a/∛b khi b≠0. ∛(a³b)=a∛b không cần giá trị tuyệt đối. Căn thức ∛A không tạo điều kiện A≥0, nhưng các mẫu hoặc biểu thức thành phần bên trong vẫn có điều kiện riêng.
Phương pháp
Tách số dưới căn thành lập phương nhân phần còn lại. Muốn giải ∛A=B có thể lập phương hai vế tương đương trên số thực rồi giữ miền gốc. Khi so sánh, dùng tính tăng hoặc đưa các số về căn bậc ba cùng dạng.
Ghi nhớ
Căn bậc ba của số âm là số âm. Không dùng công thức căn của tổng bằng tổng căn. Nếu biểu thức chứa cả căn bậc hai và bậc ba, chỉ căn bậc hai yêu cầu biểu thức dưới căn không âm; mẫu vẫn phải khác 0 ở cả hai loại.