Bài 19: Phương trình đường thẳng – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 19
Mục tiêu và kiến thức nền
Lập phương trình tổng quát và tham số từ điểm, pháp tuyến hoặc chỉ phương.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Một con đường thẳng trên bản đồ có thể được xác định bởi một điểm và hướng đi. Trong tọa độ, ta diễn tả hướng bằng vectơ chỉ phương; hoặc dùng một vectơ vuông góc với đường, gọi là pháp tuyến.
Hai loại vectơ cần phân biệt
Vectơ chỉ phương u=(u₁; u₂) khác 0 có phương song song hoặc trùng đường thẳng. Vectơ pháp tuyến n=(a; b) khác 0 vuông góc đường. Nếu n=(a; b), có thể chọn u=(−b; a), vì a(−b)+ba=0. Một đường có vô số chỉ phương và pháp tuyến, là các bội khác 0 của một vectơ tương ứng.
Phương trình tổng quát
Đường qua M₀(x₀; y₀), có pháp tuyến (a; b), có phương trình a(x−x₀)+b(y−y₀)=0, hay ax+by+c=0, với a²+b²>0. Đây là điều kiện vectơ M₀M vuông góc n. Đường thẳng đứng x=x₀ vẫn có phương trình tổng quát, dù không viết được dưới dạng y=kx+m.
Phương trình tham số
Đường qua M₀ và có chỉ phương (u₁; u₂) được viết x=x₀+u₁t, y=y₀+u₂t, t∈ℝ. Mỗi t cho một điểm; khi t chạy khắp ℝ ta được cả đường. Nếu biết hai điểm A≠B, lấy chỉ phương AB=(xB−xA; yB−yA). Không dùng cùng một vectơ làm pháp tuyến lẫn chỉ phương nếu nó khác 0.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Từ điểm và pháp tuyến
Đường qua A(1;2), pháp tuyến (2;−3): 2(x−1)−3(y−2)=0, rút gọn 2x−3y+4=0. Thử A: 2−6+4=0. Chỉ phương có thể chọn (3;2).
VÍ DỤ 2
Từ hai điểm
A(1;1), B(3;5) cho AB=(2;4), có thể rút gọn chỉ phương (1;2). Tham số: x=1+t, y=1+2t. Chọn pháp tuyến (2;−1), tổng quát 2(x−1)−(y−1)=0, tức 2x−y−1=0.
VÍ DỤ 3
Đường thẳng đứng
Qua A(3;−2), chỉ phương (0;1), ta có x=3, y=−2+t. Phương trình tổng quát là x−3=0. Đừng cố chia cho u₁=0 để tìm hệ số góc.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Pháp tuyến là hệ số (a; b), không phải (−b; a).
- Tham số t không phải tọa độ x trong mọi trường hợp.
- Hai điểm phải phân biệt mới xác định một đường.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Pháp tuyến của 2x−3y+4=0 là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án C.
Lấy hai hệ số của x và y: (2;−3).
Câu 2. Đường x=1+2t, y=3−t có tung độ bao nhiêu khi t=2?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 1.
Thay t=2: y=3−2=1.
Câu 3. Đường d: x=1+t, y=2+3t.
- d đi qua (1;2).
- (1;3) là vectơ chỉ phương.
- (3;−1) là pháp tuyến.
- Phương trình tổng quát là 3x−y+1=0.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) t=0. b) Hệ số của t. c) 1·3+3·(−1)=0. d) Đúng phải là 3(x−1)−(y−2)=0, tức 3x−y−1=0.
Câu 4. Viết phương trình đường qua A(2;−1), pháp tuyến (1;2).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
(x−2)+2(y+1)=0, rút gọn x+2y=0. Thử A:2−2=0.
Câu 5. Viết phương trình đường qua A(0;1), B(2;5).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
AB=(2;4), chỉ phương (1;2), pháp tuyến (2;−1). Đường 2x−(y−1)=0, hay 2x−y+1=0.
Câu 6. Viết phương trình tham số của x=4.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Có thể lấy điểm (4;0), chỉ phương (0;1): x=4, y=t, t∈ℝ. Pháp tuyến là (1;0).
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.