Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 13
Mục tiêu và kiến thức nền
Chọn số đại diện phù hợp; sắp xếp dữ liệu trước khi tìm trung vị và tứ phân vị.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Một nhóm có hầu hết thời gian đi học khoảng 15 phút, nhưng một bạn mất 90 phút. Trung bình bị kéo lên, trong khi trung vị ít thay đổi. Không có một số đại diện luôn tốt nhất cho mọi mục đích.
Số trung bình và bảng tần số
Với n số x₁,…,xₙ, trung bình x̄=(x₁+…+xₙ)/n. Nếu giá trị xᵢ xuất hiện nᵢ lần thì x̄=(n₁x₁+…+nₖxₖ)/(n₁+…+nₖ). Cần nhân giá trị với tần số, không lấy trung bình các giá trị phân biệt nếu chúng xuất hiện không đều. Trung bình sử dụng mọi quan sát nhưng nhạy với giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ.
Trung vị và tứ phân vị
Sắp xếp tăng dần. Nếu n lẻ, trung vị Q₂ là giá trị ở giữa; nếu n chẵn, Q₂ là trung bình của hai giá trị giữa. Q₁ là trung vị của nửa dưới, Q₃ là trung vị của nửa trên. Với n lẻ, trong quy ước dùng ở bài này, bỏ Q₂ khỏi cả hai nửa rồi mới tìm Q₁, Q₃. Các phần mềm có thể nội suy tứ phân vị khác; phải dùng cùng quy ước khi so sánh.
Mốt và lựa chọn số đại diện
Mốt là giá trị có tần số lớn nhất; mẫu có thể có nhiều mốt. Mốt dùng được cả với dữ liệu phân loại như cỡ áo, màu sắc, trong khi trung bình số học không có nghĩa với tên màu. Trung vị phù hợp khi muốn tránh tác động mạnh của giá trị ngoại lệ. Khi kết luận, nêu số đại diện của đại lượng nào và đơn vị gì.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Một mẫu, nhiều số đại diện
Dữ liệu đã sắp xếp: 2, 4, 4, 5, 7, 8, 12. Trung bình=42/7=6. Trung vị Q₂=5. Nửa dưới 2,4,4 cho Q₁=4; nửa trên 7,8,12 cho Q₃=8. Mốt là 4 vì xuất hiện hai lần. Không nhất thiết trung bình trùng trung vị.
VÍ DỤ 2
Mẫu chẵn
Với 1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, ta có Q₂=(4+7)/2=5,5. Nửa dưới 1,2,3,4 cho Q₁=(2+3)/2=2,5; nửa trên 7,8,9,10 cho Q₃=(8+9)/2=8,5.
VÍ DỤ 3
Trung bình có trọng số
Điểm 6 có 2 bạn, điểm 8 có 3 bạn, điểm 10 có 1 bạn. Trung bình=(6·2+8·3+10·1)/6=46/6≈7,67. Cách lấy (6+8+10)/3=8 bỏ qua tần số nên sai.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Luôn sắp xếp trước khi lấy vị trí giữa.
- Tần số khác giá trị của quan sát.
- Trung bình lớn hơn không tự động có nghĩa nhóm nào ổn định hơn.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Với 1; 2; 2; 3; 12, mốt là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án A.
Số 2 xuất hiện hai lần, nhiều nhất.
Câu 2. Tìm trung vị của 3; 9; 1; 7; 5.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 5.
Sắp xếp 1; 3; 5; 7; 9; giá trị giữa là 5.
Câu 3. Mẫu 2; 4; 4; 5; 7; 8; 12 dùng quy ước bỏ trung vị khi chia hai nửa.
- Trung bình là 6.
- Trung vị là 5.
- Q₁=4.
- Q₃=12.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Tổng 42 chia 7 bằng 6. b) Giá trị thứ tư là 5. c) Trung vị 2,4,4 là 4. d) Trung vị 7,8,12 là 8, không phải 12.
Câu 4. Tìm Q₁,Q₂,Q₃ của 1; 2; 3; 4; 7; 8; 9; 10.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Q₂=(4+7)/2=5,5. Q₁=(2+3)/2=2,5. Q₃=(8+9)/2=8,5.
Câu 5. Điểm 5 có 1 bạn, điểm 7 có 2 bạn, điểm 9 có 1 bạn. Tính trung bình.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Tổng điểm=5+14+9=28; số bạn=4. Trung bình=7.
Câu 6. Dữ liệu 10; 11; 12; 13; 100. Giải thích vì sao trung vị có thể đại diện thời gian đi học điển hình tốt hơn trung bình.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Trung vị=12, trung bình=146/5=29,2. Giá trị 100 kéo trung bình xa cụm 10–13. Nếu mô tả một người ở giữa nhóm, trung vị 12 phù hợp hơn; vẫn cần giữ thông tin về giá trị 100.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.