Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 11
Mục tiêu và kiến thức nền
Tính tích vô hướng bằng góc hoặc tọa độ; suy ra vuông góc và góc giữa vectơ.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Hai lực có cùng độ lớn nhưng lệch hướng khác nhau sẽ phối hợp khác nhau. Tích vô hướng đo mức độ cùng hướng của hai vectơ và cho kết quả là một số, không phải mũi tên mới.
Định nghĩa và ý nghĩa dấu
Với u, v khác 0, u·v = |u||v|cos θ, trong đó θ là góc giữa hai vectơ sau khi đưa về chung gốc, 0° ≤ θ ≤ 180°. Nếu một vectơ là 0 thì tích vô hướng bằng 0. Tích dương khi θ nhọn, bằng 0 khi vuông, âm khi tù. u·u = |u|². Hai vectơ khác 0 vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
Công thức tọa độ
Trong hệ Oxy vuông góc, nếu u=(a; b), v=(c; d) thì u·v=ac+bd. Nếu u, v khác 0, cos θ=(ac+bd)/(√(a²+b²)√(c²+d²)). Khi tính góc bằng máy, chọn đơn vị độ nếu đề dùng độ. Tích vô hướng khác điều kiện cùng phương ad−bc=0; cần đọc đúng yêu cầu trước khi chọn công thức.
Tính chất và bình phương tổng
u·v=v·u; u·(v+w)=u·v+u·w; (ku)·v=k(u·v). Do đó |u+v|²=|u|²+2u·v+|v|². Công thức này mở rộng quy tắc Pythagore: nếu u vuông góc v thì số hạng giữa bằng 0. Không viết độ dài bình phương thành vectơ bình phương mà quên ý nghĩa tích vô hướng.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Tính và kết luận vuông góc
u=(2;1), v=(1;−2). Tích u·v=2·1+1·(−2)=0. Cả hai vectơ khác 0 nên vuông góc. Độ dài mỗi vectơ là √5.
VÍ DỤ 2
Tìm góc
u=(1;0), v=(1;√3). Tích bằng 1; độ dài lần lượt 1 và 2. Cos θ=1/2 nên θ=60°. Không lấy 120° vì cos120° âm.
VÍ DỤ 3
Tính cạnh bằng vectơ
Với |u|=3, |v|=4 và góc 60°, u·v=3·4·1/2=6. Vì vậy |u−v|²=9−12+16=13, nên |u−v|=√13. Tổng sẽ có dấu +12 và cho √37; hai bài khác nhau.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Góc giữa AB và AC khác góc giữa BA và AC.
- Không chia cho |u||v| khi có vectơ 0.
- Kết quả tích vô hướng là số.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. u=(2;−1), v=(3;4). Tích u·v bằng:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án C.
2·3+(−1)·4=2.
Câu 2. u dài 3, v dài 4 và góc giữa chúng là 60°. Tính u·v.
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 6.
u·v=3·4cos60°=12·1/2=6.
Câu 3. Cho u=(1;2), v=(2;−1).
- u·v=0.
- u vuông góc v.
- |u|=√5.
- u và v cùng phương.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) 1·2+2·(−1)=0. b) Cả hai khác 0 nên vuông. c) √(1+4)=√5. d) Tích chéo 1·(−1)−2·2=−5 khác 0.
Câu 4. Tìm m để (m;2) vuông góc (3;−6).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Tích vô hướng 3m−12=0 nên m=4. Hai vectơ đều khác 0, nên điều kiện đủ.
Câu 5. A(0;0), B(3;0), C(1;2). Tính cos góc BAC.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
AB=(3;0), AC=(1;2), tích bằng 3. Độ dài 3 và √5. Cos BAC=3/(3√5)=1/√5.
Câu 6. Cho |u|=|v|=2 và u·v=−2. Tìm góc giữa u,v và |u+v|.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Cos θ=−2/4=−1/2 nên θ=120°. |u+v|²=4+2·(−2)+4=4, nên độ dài tổng bằng 2.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.