Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập – Toán 11 Bài 30 – Gia Sư SV

Công thức nhân giúp tính xác suất hai sự kiện độc lập cùng xảy ra. Trước khi nhân, cần giải thích vì sao kết quả sự kiện này không ảnh hưởng sự kiện kia.

Mục tiêu: Dùng công thức nhân có điều kiện độc lập; tính cả hai, đúng một và ít nhất một; nhận diện lấy có hoàn lại.

Kiến thức nền: tập hợp, biến cố và xác suất cổ điển.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Ghi nhớ: công thức nhân

Nếu A,B độc lập thì $P (A B) = P (A) P (B)$ . Khi A,B độc lập, các cặp $A, \overset{―}{B}$ ; $\overset{―}{A}, B$ ; $\overset{―}{A}, \overset{―}{B}$ cũng độc lập. Vì vậy $P (\overset{―}{A} \cap \overset{―}{B}) = (1 - P (A)) (1 - P (B))$ .

Ít nhất một và đúng một

Với A,B độc lập, đặt $p = P (A)$ , $q = P (B)$ . Xác suất ít nhất một xảy ra là $1 - (1 - p) (1 - q)$ . Xác suất đúng một xảy ra là $p (1 - q) + (1 - p) q$ . Hai trường hợp “A có, B không” và “A không, B có” xung khắc nên được cộng.

Mô hình và giới hạn áp dụng

Tung hai đồng xu độc lập, gieo hai xúc xắc độc lập hoặc lấy bi có hoàn lại và trộn đều thường tạo mô hình độc lập. Lấy không hoàn lại không được áp dụng công thức tích xác suất ban đầu. Với nhiều biến cố, muốn nhân tất cả xác suất phải có tính độc lập đồng thời thích hợp; độc lập từng cặp chưa đủ.

Sơ đồ mô tả quan hệ tập hợp, không biểu diễn diện tích tỉ lệ với xác suất. Độc lập phải xét bằng dữ kiện của phép thử.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Hai người cùng thành công

Hai người làm độc lập, xác suất thành công lần lượt 0,8 và 0,7. Tính xác suất cả hai thành công.

Độc lập nên xác suất giao bằng tích.
P=0,8×0,7=0,56.

Ví dụ 2. Ít nhất một thành công

Với dữ kiện trên, tính xác suất ít nhất một người thành công.

Biến cố đối là cả hai thất bại.
Xác suất cả hai thất bại bằng 0,2×0,3=0,06.
Xác suất cần tìm 1−0,06=0,94.

Ví dụ 3. Đúng một thành công

Với dữ kiện trên, tính xác suất đúng một người thành công.

Người thứ nhất thành công, người thứ hai thất bại: 0,8×0,3=0,24.
Trường hợp ngược lại: 0,2×0,7=0,14.
Hai trường hợp xung khắc; cộng được 0,38.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Chữ “độc lập” là điều kiện, không phải kết luận tự đoán.
Đúng một khác ít nhất một.
Với lấy không hoàn lại, thành phần hộp đã thay đổi.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

A,B độc lập. P(A)=0,5 và P(B)=0,2. Tính P(AB).

Xem lời giải

P(AB)=0,5×0,2=0,1.

Bài tự luyện 2

A,B độc lập. P(A)=0,5 và P(B)=0,3. Tính P(AB).

Xem lời giải

P(AB)=0,5×0,3=0,15.

Bài tự luyện 3

A,B độc lập. P(A)=0,5 và P(B)=0,4. Tính P(AB).

Xem lời giải

P(AB)=0,5×0,4=0,2.

Bài tự luyện 4

A,B độc lập. P(A)=0,5 và P(B)=0,6. Tính P(AB).

Xem lời giải

P(AB)=0,5×0,6=0,3.

Bài tự luyện 5

Hai xạ thủ bắn độc lập, xác suất trúng lần lượt 0,7 và 0,6. Tính xác suất đúng một người trúng.

Xem lời giải

Có hai trường hợp xung khắc: người 1 trúng, người 2 trượt (0,7×0,4); người 1 trượt, người 2 trúng (0,3×0,6). Cộng: 0,28+0,18=0,46.

Bài tự luyện 6

Hộp có 3 bi đỏ, 2 bi xanh. Rút một bi, hoàn lại và trộn đều rồi rút lần hai. Tính xác suất ít nhất một bi đỏ.

Xem lời giải

Mỗi lượt có xác suất xanh $2 / 5$ , hai lượt độc lập. Biến cố đối là cả hai xanh, xác suất $4 / 25$ . Vậy xác suất cần tìm $1 - 4 / 25 = 21 / 25$ .

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.