Bài 17: Phép chia hết, ước và bội của số nguyên

1. Khi nào một số nguyên chia hết cho số nguyên khác?

Với hai số nguyên a, b và b khác 0, nếu có số nguyên q sao cho a = b × q thì a chia hết cho b. Khi đó a : b = q. Số q phải là số nguyên: 7 không chia hết cho 2 trong tập hợp số nguyên vì không có số nguyên nào nhân với 2 bằng 7.

Ví dụ, −20 = (−4) × 5 nên (−20) : (−4) = 5. Còn −20 = 4 × (−5) nên (−20) : 4 = −5. Phép chia là bước tìm thừa số còn thiếu, vì vậy có thể kiểm lại bằng phép nhân.

2. Chọn dấu rồi chia phần số tự nhiên

Với một phép chia hết có số bị chia khác 0, hai số cùng dấu cho thương dương, khác dấu cho thương âm. Chia các phần số tự nhiên rồi gắn dấu vừa xác định. Quy tắc này bắt nguồn từ quy tắc dấu của phép nhân; không phải từ phép cộng số nguyên.

Số 0 chia cho một số nguyên khác 0 luôn bằng 0. Không thực hiện phép chia cho 0, kể cả 0 : 0: phép nhân với 0 không xác định được một thương duy nhất.

3. Tìm ước của một số nguyên

Khi a chia hết cho b, ta gọi b là một ước của a và a là một bội của b. Ước đang dùng làm số chia nên phải khác 0. Nếu b là ước của a thì −b cũng là ước của a: đổi dấu thương sẽ giữ nguyên tích.

Để tìm ước của −12, trước hết tìm các ước dương của 12 là 1, 2, 3, 4, 6, 12. Sau đó thêm số đối của từng số. Có đủ 12 ước: −12, −6, −4, −3, −2, −1, 1, 2, 3, 4, 6, 12. Hai số 12 và −12 có cùng tập hợp ước nguyên.

Mọi số nguyên khác 0 đều là ước của 0 vì 0 = b × 0. Riêng 0 không được chọn làm ước. Khi tìm ước của một số khác 0, kết quả là một danh sách hữu hạn.

4. Viết bội và tìm bội trong một khoảng

Các bội của số nguyên b có dạng b × k với k là số nguyên. Chẳng hạn, các bội của 4 là …, −12, −8, −4, 0, 4, 8, 12, … . Vì k có thể âm, bằng 0 hoặc dương nên cần xét cả ba phía. Tập bội của −4 cũng chính là tập bội của 4.

Bội của 0 chỉ có 0 vì 0 × k luôn bằng 0. Với số khác 0, không thể liệt kê hết mọi bội, nhưng có thể tìm đủ các bội nằm trong một khoảng cho trước. Hãy kiểm cả hai đầu khoảng để không lấy thừa hoặc bỏ sót.