Bài 16: Phép nhân số nguyên

1. Nhân hai số nguyên khác dấu

Với một số nguyên a và số tự nhiên dương n, tích a × n có thể hiểu là tổng của n số hạng đều bằng a. Chẳng hạn (−3) × 4 là tổng bốn số −3. Cách hiểu này nối phép nhân với quy tắc cộng số nguyên ở Bài 14.

Ví dụ 1: bốn lần giảm 3 điểm

(−3) × 4 = (−3) + (−3) + (−3) + (−3) = −12.

Trên trục số, bắt đầu ở 0 rồi đi sang trái bốn lần, mỗi lần 3 đơn vị, ta đến −12. Kết quả −12 cho biết điểm giảm tổng cộng 12 điểm. Nó chưa cho biết số điểm cuối cùng, vì còn phải biết điểm ban đầu của người chơi.

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, nhân hai phần số tự nhiên của chúng rồi đặt dấu âm trước kết quả. Ví dụ −7 có phần số tự nhiên là 7. Quy tắc cũng áp dụng khi số âm đứng sau; vị trí của số âm không làm thay đổi dấu của tích.

m × (−n) = (−n) × m = −(m × n), với m, n ∈ ℕ*.

Ví dụ 2: tách phần tính và phần dấu

(−14) × 6 = −(14 × 6) = −84.

9 × (−8) = −(9 × 8) = −72.

Trong phép tính thứ nhất, nhân 14 với 6 được 84, rồi đặt dấu âm vì hai thừa số khác dấu. Trong phép tính thứ hai, số âm nằm sau nhưng tích vẫn âm. Không lấy 14 − 6 hoặc 9 − 8: phép tính cần làm ở phần số tự nhiên vẫn là phép nhân, không phải phép cộng khác dấu.

2. Nhân hai số nguyên cùng dấu

Hai số nguyên dương được nhân như hai số tự nhiên đã học. Với hai số nguyên âm, nhân hai phần số tự nhiên của chúng; kết quả là số nguyên dương. Nói gọn: hai thừa số khác 0 cùng dấu cho tích dương, khác dấu cho tích âm.

(−m) × (−n) = m × n, với m, n ∈ ℕ*.

Vì sao âm nhân âm cho dương?

Hãy giữ thừa số −4 và xét các tích khi thừa số còn lại giảm từng đơn vị: (−4) × 2 = −8; (−4) × 1 = −4; (−4) × 0 = 0. Mỗi lần thừa số thứ hai giảm 1, tích tăng 4. Tiếp tục đúng quy luật ấy: (−4) × (−1) = 4 và (−4) × (−2) = 8. Dãy này giúp nhìn ra quy tắc; tính chất phân phối dưới đây giải thích sự nhất quán của nó.

0 = (−4) × [2 + (−2)]

= (−4) × 2 + (−4) × (−2).

Vì (−4) × 2 = −8, số hạng còn lại phải là 8 để tổng bằng 0. Do đó (−4) × (−2) = 8. Lập luận dùng tính chất phân phối của phép nhân, được trình bày ở phần 4; không hiểu “hai số âm” là hai lần đi lùi rồi tự nhiên tiến lên.

Ví dụ 3: cùng dấu và trường hợp có 0

(−13) × (−7) = 13 × 7 = 91.

(−28) × 0 = 0.

Phép tính đầu có hai thừa số âm nên tích dương. Phép tính sau có thừa số 0 nên tích bằng 0; không gọi 0 là số dương hoặc số âm. Trước khi áp dụng bảng dấu, luôn nhìn xem có thừa số 0 hay không.

3. Nhân với 0, 1 và −1

Nhân bất kì số nguyên nào với 0 cho 0. Nhân với 1 giữ nguyên số. Nhân với −1 cho số đối của số ban đầu. Các công thức này đúng cả khi a âm, dương hoặc bằng 0:

a × 0 = 0 × a = 0; a × 1 = 1 × a = a.

a × (−1) = (−1) × a = −a.

Ví dụ, (−17) × 1 = −17, còn (−17) × (−1) = 17. Trong công thức −a, dấu trừ biểu thị số đối của a; nó không bảo đảm kết quả luôn âm. Với a = 0, cả ba phép nhân trên đều cho 0.

4. Dùng các tính chất để tính hợp lí

Giao hoán và kết hợp

Tính giao hoán cho phép đổi thứ tự các thừa số. Tính kết hợp cho phép đổi cách nhóm mà không thay đổi thứ tự các thừa số. Khi đổi chỗ, mỗi thừa số âm phải được giữ nguyên cả dấu; không chỉ chuyển phần chữ số.

a × b = b × a; (a × b) × c = a × (b × c).

Ví dụ 4: tạo một tích tròn trăm

(−25) × 13 × (−4)

= [(−25) × (−4)] × 13

= 100 × 13 = 1 300.

Đưa −4 lại gần −25 rồi nhóm chúng, ta được tích dương 100. Thừa số 13 được giữ lại và nhân tiếp. Cách làm dùng giao hoán cùng kết hợp, không bỏ mất một dấu âm hoặc một thừa số.

Phân phối đối với phép cộng và phép trừ

Nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng số hạng rồi cộng các tích. Công thức cũng có dạng đối với hiệu. Đọc theo chiều ngược giúp đưa thừa số chung ra ngoài ngoặc.

a × (b + c) = a × b + a × c.

a × (b − c) = a × b − a × c.

Ví dụ 5: tính bằng hai hướng phân phối

(−7) × 102 = (−7) × (100 + 2)

= −700 + (−14) = −714.

(−8) × 37 + (−8) × 13

= (−8) × (37 + 13) = (−8) × 50 = −400.

Ở phép tính thứ nhất, −7 phải nhân với cả 100 và 2. Ở phép tính thứ hai, cùng thừa số −8 xuất hiện trong cả hai tích nên được đưa ra ngoài ngoặc; trong ngoặc còn 37 + 13. Chỉ nhân một số hạng trong ngoặc, hoặc đưa 8 thay vì −8 ra ngoài, đều làm đổi biểu thức.

(−6) × (10 − 3) = −60 − (−18) = −42.

Dòng trên nhắc một điểm dễ sai: tích (−6) × 3 bằng −18, nhưng đang trừ tích ấy nên xuất hiện −(−18). Nếu tính trong ngoặc trước, 10 − 3 = 7 và (−6) × 7 = −42, khớp với cách phân phối.

5. Xác định dấu của tích nhiều số nguyên

Trước hết, nếu có một thừa số bằng 0 thì cả tích bằng 0. Nếu tất cả thừa số khác 0, mỗi cặp thừa số âm cho một tích dương. Vì thế, có số lượng thừa số âm chẵn thì tích dương; có số lượng thừa số âm lẻ thì tích âm. Không có thừa số âm cũng thuộc trường hợp chẵn: các thừa số đều dương.

Ví dụ 6: đếm thừa số âm, không đếm mọi dấu trừ

(−2) × (−5) × 3 × (−4) = −120.

Có ba thừa số âm nên tích âm. Nhân các phần số tự nhiên được 2 × 5 × 3 × 4 = 120, rồi đặt dấu âm. Nếu nhân thêm −1, số thừa số âm thành bốn và tích trở thành 120. Nếu thay thừa số 3 bằng 0 thì kết quả bằng 0, không còn dùng kết luận âm hoặc dương.

Quy tắc chẵn, lẻ này dùng cho một tích. Trong (−2) × 5 − 3, dấu trừ trước 3 là phép trừ nằm ngoài tích đầu; không được đếm nó như dấu của một thừa số để kết luận giá trị cả biểu thức.

6. Vận dụng: mức thay đổi khác với giá trị cuối

Ví dụ 7: chấm điểm trong trò chơi

Quy ước mỗi lượt đúng được +5 điểm, mỗi lượt sai được −3 điểm. Một bạn có bốn lượt đúng, hai lượt sai. Tổng thay đổi điểm là:

4 × 5 + 2 × (−3) = 20 + (−6) = 14.

Bạn được thêm 14 điểm. Nếu ban đầu có 20 điểm thì cuối cùng có 20 + 14 = 34 điểm. Không trả lời “14 điểm cuối cùng” khi chưa xét điểm ban đầu. Các số lượt 4 và 2 là số lượng đếm; dấu âm thuộc mức điểm của mỗi lượt sai, không phải “số lượt âm”.

Lỗi dễ nhầm và cách ghi nhớ

Đừng dùng quy tắc của phép nhân cho phép cộng: (−4) + (−2) = −6, còn (−4) × (−2) = 8. Cũng đừng lấy hiệu hai phần số tự nhiên khi nhân khác dấu; phải nhân rồi gắn dấu phù hợp.

Khi đổi chỗ thừa số hoặc đặt thừa số chung, giữ đủ dấu âm. Khi phân phối, nhân với mọi số hạng và giữ đúng dấu phép cộng, trừ nối các tích. Có 0 thì xét riêng trước khi đếm dấu âm.

Ghi nhớ theo trình tự: tìm thừa số 0 → xét dấu của tích → nhân phần số tự nhiên → chọn tính chất để tính gọn → đọc ý nghĩa và đơn vị của kết quả. Với một biểu thức có cả cộng, trừ, nhân và ngoặc, vẫn tuân theo thứ tự phép tính đã học.