Bài 15: Quy tắc dấu ngoặc

1. Từ phép cộng, trừ số nguyên đến cách viết gọn

Ở Bài 14, ta đã biết cộng một số âm có thể viết thành phép trừ, còn trừ một số âm là cộng với số dương đối của nó. Chẳng hạn 9 + (−4) = 9 − 4 và 9 − (−4) = 9 + 4. Ngoặc ở đây giúp nhìn rõ số âm; bỏ ngoặc phải đi cùng quy tắc cộng, trừ đã học.

Ví dụ 1: bỏ ngoặc quanh từng số

14 + (−9) − (−6) = 14 − 9 + 6 = 11.

Số −9 được cộng vào nên viết gọn thành −9 trong dãy tính. Số −6 lại là số trừ, nên −(−6) đổi thành +6. Ta không đổi 14 thành −14: quy tắc chỉ tác động vào phần đang có ngoặc. Vì phép trừ có thể đổi thành phép cộng với số đối, dãy 14 − 9 + 6 cũng được xem là một tổng các số nguyên 14, −9 và 6.

2. Dấu cộng trước ngoặc: giữ nguyên các dấu

Khi bỏ ngoặc có dấu “+” đứng ngay trước, giữ nguyên dấu của mọi số hạng trong ngoặc. Số hạng đầu không viết dấu được hiểu là có dấu cộng. Ngoặc được bỏ chứ không làm các số hạng tự thay đổi.

a + (b + c − d) = a + b + c − d.

Ví dụ, trong a + (b − c), hai số hạng của tổng trong ngoặc là b và −c. Tính kết hợp của phép cộng cho phép bỏ cách nhóm này, nên a + (b − c) = a + b − c. Dấu trừ trước c vẫn được giữ, không biến thành dấu cộng.

Ví dụ 2: số bên ngoài là số âm

−18 + (7 − 12 + 5) = −18 + 7 − 12 + 5.

−18 + 7 − 12 + 5 = −18 + (7 + 5) − 12 = −18.

Dấu ngay trước ngoặc ban đầu là dấu cộng, nên +7, −12 và +5 được giữ. Dấu âm của −18 nằm ngoài ngoặc, không quyết định việc có đổi dấu trong ngoặc hay không. Ghép 7 với 5 được 12, rồi 12 và −12 triệt tiêu nhau.

3. Dấu trừ trước ngoặc: đổi dấu tất cả số hạng

Khi bỏ ngoặc có dấu “−” đứng ngay trước, đổi dấu của tất cả số hạng trong ngoặc: cộng đổi thành trừ, trừ đổi thành cộng. Đặc biệt, số hạng đầu dù không ghi dấu cộng vẫn phải được đổi dấu. Các phần ở ngoài ngoặc đang xét giữ nguyên.

a − (b + c − d) = a − b − c + d.

Có thể hiểu từ phép trừ: trừ một tổng là cộng với số đối của cả tổng. Số đối của b + c − d là −b − c + d, vì ghép các cặp b với −b, c với −c, −d với d sẽ được tổng bằng 0. Do đó phải đổi đủ các số hạng, không chỉ số đứng đầu hoặc số đứng cuối.

Ví dụ 3: trở lại phép tính mở đầu

73 − (23 − 8) = 73 − 23 + 8 = 50 + 8 = 58.

Trong ngoặc, 23 có dấu cộng được lược bỏ, còn 8 đi với dấu trừ. Khi bỏ ngoặc có dấu trừ, +23 thành −23 và −8 thành +8. Kiểm bằng cách tính trong ngoặc trước: 23 − 8 = 15, rồi 73 − 15 = 58. Hai cách phải cho cùng kết quả.

Ví dụ 4: số hạng đầu trong ngoặc đã mang dấu âm

40 − (−6 + 11 − 3) = 40 + 6 − 11 + 3 = 38.

Ba số hạng trong ngoặc là −6, +11 và −3. Sau khi đổi dấu, chúng lần lượt trở thành +6, −11 và +3. Cách viết 40 + 6 + 11 − 3 chỉ đổi dấu số đầu là sai. Tính trước trong ngoặc cho −6 + 11 − 3 = 2, nên kết quả 40 − 2 = 38 khớp với cách bỏ ngoặc.

Hình dưới dùng cùng phần trong ngoặc để so sánh hai trường hợp. Hãy nhìn dấu ngay trước ngoặc, rồi theo từng số hạng; đừng chỉ nhìn xem trong biểu thức có xuất hiện một dấu trừ ở đâu đó hay không.

4. Có nhiều lớp ngoặc: xử lí từng lớp

Với ngoặc lồng nhau, cách ít nhầm là làm từ nhóm trong cùng ra ngoài. Sau mỗi bước, chép nguyên những phần chưa xử lí. Cũng có thể bỏ ngoặc ngoài trước nếu coi toàn bộ nhóm còn ngoặc là một số hạng và đổi dấu đúng; không được xóa đồng loạt mọi ngoặc chỉ dựa vào dấu ở đầu biểu thức.

Ví dụ 5: hai dấu trừ tác động ở hai lớp khác nhau

30 − [12 − (5 − 9)]

= 30 − [12 − 5 + 9]

= 30 − 12 + 5 − 9

= 14.

Trước hết, dấu trừ ngay trước ngoặc tròn làm +5 thành −5, −9 thành +9. Sau đó, dấu trừ trước ngoặc vuông đổi +12, −5, +9 thành −12, +5, −9. Mỗi lần chỉ xét một cặp ngoặc. Kiểm theo thứ tự phép tính: 5 − 9 = −4; 12 − (−4) = 16; 30 − 16 = 14.

5. Đổi vị trí và đặt ngoặc để tính hợp lí

Khi biểu thức đã được viết thành tổng các số nguyên, có thể dùng tính giao hoán và kết hợp để đổi vị trí hoặc nhóm các số hạng. Mỗi số hạng phải mang theo dấu của nó. Ví dụ 26 − 41 + 14 có các số hạng 26, −41, 14; có thể viết thành 26 + 14 − 41, nhưng không đổi thành 26 + 41 − 14.

Đặt ngoặc là đọc quy tắc bỏ ngoặc theo chiều ngược. Nếu đặt dấu cộng trước nhóm, giữ dấu trong nhóm. Nếu đặt dấu trừ trước nhóm, đổi dấu của tất cả số hạng được đưa vào nhóm, để khi bỏ ngoặc trở lại ta nhận đúng biểu thức ban đầu.

a − b − c = a − (b + c).

a − b + c = a − (b − c).

Chẳng hạn 96 − 37 − 13 = 96 − (37 + 13) = 46. Cần dùng dấu cộng trong ngoặc vì đang trừ cả 37 lẫn 13. Nếu viết 96 − (37 − 13) thì giá trị thành 72, không còn bằng biểu thức ban đầu.

Ví dụ 6: ghép các số đối nhau

(−145 + 62) + (145 − 22)

= −145 + 62 + 145 − 22

= (−145 + 145) + (62 − 22)

= 0 + 40 = 40.

Hai nhóm ban đầu được nối bằng dấu cộng nên bỏ ngoặc không đổi dấu. Sau đó đưa +145 lại gần −145 và đưa −22 lại gần +62, giữ đúng dấu của từng số. Cách nhóm này giúp tính nhanh hơn việc tìm giá trị từng ngoặc ban đầu.

6. Biểu thức có chữ: bỏ ngoặc trước, thay số sau

Quy tắc vẫn đúng khi số hạng chứa chữ biểu thị số nguyên. Bỏ ngoặc có thể giúp nhận ra các cặp đối nhau và làm biểu thức gọn hơn trước khi thay số. Không được kết luận một kí hiệu như −x luôn là số âm: nó là số đối của x.

Ví dụ 7: giá trị không phụ thuộc vào x

A = (x + 18) − (x − 7)

= x + 18 − x + 7

= (x − x) + (18 + 7) = 25.

Với mọi x ∈ ℤ, x và −x đối nhau nên tổng bằng 0. Do đó A luôn bằng 25. Chẳng hạn x = −12 cho ngoặc thứ nhất bằng 6, ngoặc thứ hai bằng −19; 6 − (−19) = 25. Việc thay một giá trị để kiểm giúp phát hiện lỗi, nhưng kết luận cho mọi x dựa vào phép biến đổi ở trên.

Lỗi dễ nhầm và cách tự kiểm

Bỏ ngoặc sau dấu trừ nhưng chỉ đổi dấu đầu: hãy đánh dấu từng số hạng, kể cả dấu cộng được lược bỏ. Đổi luôn phần ngoài ngoặc: khoanh đúng phạm vi trước khi biến đổi. Chuyển vị trí một số mà bỏ dấu âm: viết biểu thức thành tổng để thấy mỗi số hạng đầy đủ.

Đặt ngoặc tùy ý sau dấu trừ: bỏ ngoặc trở lại để kiểm biểu thức có như cũ không. Xóa hết ngoặc lồng trong một bước: tách thành từng dòng. Dùng quy tắc này để xóa ngoặc ở mọi phép tính: quy tắc đang xét là dấu cộng hoặc dấu trừ trước một tổng; ngoặc trong tích, thương cần quy tắc phù hợp khác.

Ghi nhớ: nhìn dấu trước ngoặc → giữ hoặc đổi đủ dấu → chép phần ngoài ngoặc → nhóm số hạng thuận tiện → kiểm giá trị. Ngoặc có thể đổi cách tính, còn một phép biến đổi đúng phải giữ nguyên giá trị biểu thức.