TOÁN 8 · 7 HẰNG ĐẲNG THỨC VÀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC
Bình phương tổng, bình phương hiệu và hiệu hai bình phương – Toán 8
Hình vuông cạnh a + b có bốn phần: a², ab, ab, b². Hai ô chữ nhật ab giải thích vì sao công thức phải có 2ab.
Hiểu và dùng ba hằng đẳng thức bậc hai; khai triển, tính nhanh, rút gọn và tìm giá trị nhỏ nhất.
Kiến thức cần nhớ: Nhân đa thức; bình phương một số luôn không âm.
Nhìn hình để hiểu
Ba công thức cần phân biệt
Với mọi biểu thức A, B: (A + B)² = A² + 2AB + B²; (A − B)² = A² − 2AB + B²; A² − B² = (A − B)(A + B). Hằng đẳng thức là đẳng thức đúng với mọi giá trị của các biến trong phạm vi xác định.
Nhớ bằng hình và bằng dấu
Bình phương của tổng có ba hạng tử và dấu cộng. Bình phương của hiệu vẫn có +B²; chỉ hạng tử giữa là −2AB. Hiệu hai bình phương là hai bình phương trừ nhau, được viết thành tích hai nhân tử liên hợp. Hình diện tích minh họa với a, b > 0; công thức đại số đúng với cả số âm.
Chọn A, B trước khi thay công thức
Trong (2x − 3y)², phải lấy A = 2x, B = 3y. Khi đó 2AB = 12xy, không phải 6xy. Đọc theo chiều ngược cũng quan trọng: 9x² − 12xy + 4y² = (3x − 2y)².
Dùng bình phương không âm
Nếu đưa được biểu thức về (x − m)² + n, ta biết giá trị nhỏ nhất là n khi x = m. Không được bỏ điều kiện đạt dấu bằng.
Ví dụ giải từng bước
Ví dụ 1
Khai triển (2x − 3)².
- A = 2x, B = 3. Tính A² = 4x², 2AB = 12x, B² = 9.
- Dùng bình phương của hiệu: (2x − 3)² = 4x² − 12x + 9.
- Kiểm nhanh x = 0: cả hai vế đều bằng 9.
Ví dụ 2
Tính nhanh 103 × 97.
- Nhận ra 103 = 100 + 3 và 97 = 100 − 3.
- Dùng (A + B)(A − B) = A² − B².
- 103 × 97 = 10000 − 9 = 9991.
Ví dụ 3
Tìm giá trị nhỏ nhất của x² − 6x + 11.
- Tách 11 = 9 + 2 để có x² − 6x + 9 + 2.
- Viết thành (x − 3)² + 2 ≥ 2.
- Giá trị nhỏ nhất là 2, đạt tại x = 3.
Lỗi thường gặp
- (A − B)² không bằng A² − B².
- Không thiếu 2AB và không đổi +B² thành −B².
- A² + B² không bằng (A + B)².
Em tự thử trước khi mở lời giải
(x − 5)² bằng biểu thức nào?
Xem giải thích
A = x, B = 5: A² − 2AB + B² = x² − 10x + 25.
Câu 2 · Trả lời ngắn
Tính nhanh 49².
Xem lời giải sau khi tự làm
49² = (50 − 1)² = 2500 − 100 + 1 = 2401.
Câu 3 · Tự luận
Khai triển (3a + 2b)² và (3a − 2b)².
Xem lời giải sau khi tự làm
Hai bình phương đầu và cuối là 9a², 4b²; hai lần tích là 12ab. Kết quả lần lượt: 9a² + 12ab + 4b² và 9a² − 12ab + 4b².
Câu 4 · Tự luận
Rút gọn (x + 4)² − (x − 4)².
Xem lời giải sau khi tự làm
Khai triển được x² + 8x + 16 − x² + 8x − 16 = 16x. Cũng có thể đặt A = x + 4, B = x − 4, rồi dùng (A − B)(A + B) = 8·2x.
Câu 5 · Tự luận
Một tấm bìa vuông cạnh a cm, a > 3, bị cắt đi một hình vuông cạnh 3 cm. Viết diện tích còn lại dưới dạng tích.
Xem lời giải sau khi tự làm
Diện tích còn lại S = a² − 9 = (a − 3)(a + 3) cm². Đây là hiệu hai diện tích, không phải hình vuông cạnh a − 3.
Câu 6 · Đúng hay sai
Đánh dấu đúng hoặc sai.
- (a + b)² = a² + b².
- (a − b)² = a² − 2ab + b².
- 4x² − 9 = (2x − 3)(2x + 3).
- (−x − 2)² = (x + 2)².
Xem lời giải sau khi tự làm
a) Sai, thiếu 2ab. b) Đúng theo công thức. c) Đúng vì 4x² = (2x)², 9 = 3². d) Đúng vì hai biểu thức trong ngoặc đối nhau và bình phương bằng nhau.
Câu 7 · Tự luận
Tìm giá trị nhỏ nhất của 4x² + 4x + 7 và giá trị x tương ứng.
Xem lời giải sau khi tự làm
4x² + 4x + 7 = (2x + 1)² + 6 ≥ 6. Dấu bằng khi 2x + 1 = 0, tức x = −. Vậy giá trị nhỏ nhất là 6.
Câu 8 · Trả lời ngắn
Tính 1002 × 998.
Xem lời giải sau khi tự làm
(1000 + 2)(1000 − 2) = 1000² − 2² = 999996.
Sơ đồ ghi nhớ
- Bình phương tổng: +2AB.
- Bình phương hiệu: −2AB, cuối vẫn +.
- Hiệu bình phương: hai nhân tử liên hợp.
- Nhận A, B rồi kiểm dấu.
Luyện tập và học tiếp
Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.
Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.