TOÁN 8 · THALÈS VÀ CÁC ĐƯỜNG TRONG TAM GIÁC

Đường trung bình của tam giác – Toán 8

Nối hai trung điểm tạo ra một đoạn song song với cạnh thứ ba và dài bằng một nửa. Chỉ một trung điểm thì chưa đủ.

Học xong, em làm được gì?

Nhận biết đường trung bình, tính độ dài và chứng minh trung điểm.

Kiến thức cần nhớ: Trung điểm và định lí Thalès.

Nhìn hình để hiểu

Ảnh minh họa đường trung bình của tam giác. Các ký hiệu và dữ kiện trong đề là căn cứ khi giải bài.

Định nghĩa

Đường trung bình của tam giác là đoạn nối trung điểm của hai cạnh. Nếu M là trung điểm AB, N là trung điểm AC thì MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Tính chất và cách suy ra

MN ∥ BC và MN = $\frac{BC}{2}$ . Vì $\frac{AM}{AB}$ = $\frac{AN}{AC}$ = $\frac{1}{2}$ , Thalès đảo cho song song, hệ quả Thalès cho tỉ số độ dài.

Nhận biết trung điểm nhờ song song

Một đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh tam giác và song song cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Điều kiện đi qua trung điểm và điều kiện song song đều cần thiết.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

M, N là trung điểm AB, AC; BC = 18 cm. Tính MN.

MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN = $\frac{BC}{2}$ = $\frac{18}{2}$ .
Vậy MN = 9 cm.

Ví dụ 2

M là trung điểm AB, MN ∥ BC với N ∈ AC, AC = 14 cm. Tính AN.

Đường qua trung điểm M song song BC cắt AC ở trung điểm N.
AN = NC = $\frac{AC}{2}$ .
AN = 7 cm.

Lỗi thường gặp

Đường trung bình là đoạn thẳng, trung tuyến nối một đỉnh với trung điểm cạnh đối.
Một đoạn bằng nửa cạnh chưa chắc là đường trung bình.

Em tự thử trước khi mở lời giải

MN là đường trung bình ứng với BC. Khi đó?

Xem giải thích

Đường trung bình song song và dài bằng nửa cạnh thứ ba.

Câu 2 · Trả lời ngắn

Đường trung bình dài 6,5 cm. Cạnh song song với nó dài bao nhiêu cm?

Xem lời giải sau khi tự làm

Cạnh ấy bằng hai lần đường trung bình: 2·6,5 = 13 cm.

Câu 3 · Tự luận

Tam giác có ba cạnh 8, 10, 12 cm. Tính chu vi tam giác nối ba trung điểm.

Xem lời giải sau khi tự làm

Ba cạnh tam giác trung điểm là 4, 5, 6 cm. Chu vi bằng 15 cm, bằng nửa chu vi tam giác gốc.

Câu 4 · Tự luận

ABCD là tứ giác lồi. M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

Xem lời giải sau khi tự làm

Trong tam giác ABC, MN ∥ AC. Trong tam giác CDA, PQ ∥ AC nên MN ∥ PQ. Tương tự NP ∥ BD và MQ ∥ BD nên NP ∥ MQ. Hai cặp cạnh đối song song, do đó MNPQ là hình bình hành.

Câu 5 · Tự luận

M ∈ AB, N ∈ AC và MN ∥ BC. Có thể nói MN là đường trung bình ngay không?

Xem lời giải sau khi tự làm

Chưa. Cần thêm M hoặc N là trung điểm cạnh chứa nó. Song song chỉ bảo đảm các tỉ số tương ứng bằng nhau, không bắt buộc bằng $\frac{1}{2}$ .

Sơ đồ ghi nhớ

Hai trung điểm.
Song song cạnh còn lại.
Dài bằng một nửa.
Trung điểm + song song → trung điểm.

Luyện tập và học tiếp

Chọn nhóm bài để tự giải, đối chiếu lời giải và ôn lại kiến thức còn vướng.

Biên soạn: Gia Sư SV. Ví dụ, bài tập và hình minh họa phục vụ học tập Toán 8.