Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 17
Mục tiêu và kiến thức nền
Lập bảng dấu theo Δ và a; chọn đúng khoảng nghiệm, giữ hoặc bỏ các nghiệm biên.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Đồ thị y=x²−4x+3 nằm dưới trục hoành giữa hai nghiệm và phía trên ở ngoài. Bảng dấu là cách ghi gọn thông tin ấy để giải bất phương trình mà không cần vẽ lại mỗi lần.
Ba trường hợp theo biệt thức
Xét f(x)=ax²+bx+c, a≠0, Δ=b²−4ac. Nếu Δ<0, f(x) luôn cùng dấu a trên ℝ. Nếu Δ=0, f(x) cùng dấu a khi x≠−b/(2a), bằng 0 tại nghiệm kép. Nếu Δ>0 có hai nghiệm x₁< x₂, f cùng dấu a ngoài khoảng hai nghiệm, trái dấu a trong khoảng, bằng 0 tại hai nghiệm.
Cách giải và cách đọc dấu
Chuyển toàn bộ về một vế, thu gọn, xác định a và nghiệm rồi lập bảng dấu. Với > hoặc <, loại điểm bằng 0; với ≥ hoặc ≤, nhận các điểm bằng 0. Mẹo “ngoài cùng, trong trái” chỉ áp dụng khi có hai nghiệm phân biệt. Nếu biểu thức là tích hoặc thương nhiều nhân tử, cần thêm điểm đổi dấu và điểm làm mẫu bằng 0; không dùng bảng tam thức như thể mẫu luôn dương.
Trường hợp chứa tham số
Trước tiên kiểm hệ số bậc hai có thể bằng 0 hay không. Muốn f(x)>0 với mọi x∈ℝ cần a>0 và Δ<0; muốn f(x)≥0 với mọi x cần a>0 và Δ≤0, trong trường hợp a≠0. Khi a=0, bài trở thành bậc nhất hoặc hằng và phải xét riêng. Không đổi điều kiện “mọi x” thành “có x”.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Giải x²−4x+3≤0
f=(x−1)(x−3), a>0, hai nghiệm 1 và 3. Trong khoảng (1;3), f âm; tại hai đầu f=0. Vậy tập nghiệm [1;3]. Với dấu < thì đáp án là (1;3).
VÍ DỤ 2
Hệ số đầu âm
Giải −x²+5x−6>0. Hai nghiệm 2 và 3, a<0. Ngoài khoảng f âm, trong khoảng f dương. Tập nghiệm là (2;3). Có thể nhân −1 để được x²−5x+6<0, nhớ đổi chiều.
VÍ DỤ 3
Nghiệm kép và không có nghiệm
(x−2)²≤0 chỉ có x=2 vì bình phương không âm. Trong khi x²+1<0 vô nghiệm. Với x²+1>0, mọi số thực đều thỏa. Các trường hợp này không có khoảng “trong hai nghiệm”.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Kiểm dấu a, không mặc định ngoài dương.
- ≤ có thể chỉ cho một điểm khi nghiệm kép.
- Khi có tham số, xét trường hợp hệ số bậc hai bằng 0.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Nghiệm của x²−5x+6<0 là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án A.
Tam thức hệ số đầu dương, nghiệm 2 và 3; âm trong khoảng và bỏ hai đầu.
Câu 2. Bất phương trình (x−4)²≤0 có bao nhiêu nghiệm thực?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 1.
Chỉ có x=4 làm bình phương bằng 0.
Câu 3. Xét f(x)=−x²+4.
- f(0)>0.
- f(x)=0 tại x=−2,2.
- f(x)>0 khi x∈(−2;2).
- f(x)≥0 với mọi x.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) f(0)=4. b) x²=4. c) a<0 nên trong hai nghiệm dương. d) Sai, f(3)=−5.
Câu 4. Giải 2x²−3x−2≥0.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Phân tích (2x+1)(x−2)≥0. Hai nghiệm −1/2 và 2, hệ số đầu dương. Nhận ngoài và hai biên: (−∞;−1/2]∪[2;+∞).
Câu 5. Tìm m để x²−2x+m>0 với mọi x thực.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
a=1>0. Cần Δ=4−4m<0, tức m>1. Tương đương (x−1)²+m−1 luôn dương khi m>1.
Câu 6. Một bạn giải x²+4≤0 được x≤−2 hoặc x≥2. Hãy sửa.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
x²+4≥4>0 với mọi x, nên bất phương trình vô nghiệm. Không có nghiệm ±2 vì x²=−4 không có nghiệm thực.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.