Bài 16: Hàm số bậc hai – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 16
Mục tiêu và kiến thức nền
Vẽ parabol từ đỉnh và trục đối xứng; tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất đúng miền.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Độ cao quả bóng có thể được mô hình hóa bằng một hàm bậc hai trong khoảng thời gian bay. Đỉnh parabol giúp tìm độ cao lớn nhất, nhưng nghiệm có ý nghĩa còn phải nằm trong khoảng thời gian thực tế.
Từ công thức đến hình dạng
Hàm bậc hai y=ax²+bx+c, a≠0, có đồ thị parabol. Đặt x₀=−b/(2a), y₀=f(x₀)=−Δ/(4a), Δ=b²−4ac. Đỉnh I(x₀; y₀), trục đối xứng x=x₀. Nếu a>0 parabol mở lên, nếu a<0 mở xuống. Viết y=a(x−x₀)²+y₀ cho thấy ngay vai trò của đỉnh.
Lập bảng biến thiên và vẽ
Với a>0, hàm nghịch biến bên trái x₀ và đồng biến bên phải; y₀ là giá trị nhỏ nhất trên ℝ. Với a<0, chiều biến thiên đảo lại và y₀ là giá trị lớn nhất. Để vẽ, xác định đỉnh, trục, giao Oy là (0; c), giao Ox nếu có và một vài cặp điểm đối xứng. Không dùng ba điểm thẳng hàng hoặc nối đồ thị thành các đoạn gãy.
Tối ưu trên đoạn
Nếu chỉ xét x∈[u; v], so sánh giá trị tại u, v và tại x₀ khi x₀ nằm trong đoạn. Đỉnh ở ngoài miền thì không được lấy làm nghiệm tối ưu của bài. Với mô hình thực tế, nêu đơn vị và khoảng có ý nghĩa. Nếu tìm hệ số a,b,c từ ba điểm, thay từng điểm để lập ba phương trình, sau đó kiểm a≠0.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Vẽ y=x²−4x+3
Hoàn thành bình phương: y=(x−2)²−1. Đỉnh I(2;−1), trục x=2, mở lên. Giao Ox tại x=1 và x=3; giao Oy tại (0;3), điểm đối xứng là (4;3). Hàm giảm trên (−∞;2), tăng trên (2;+∞).
VÍ DỤ 2
Đỉnh không nằm trong đoạn
Tìm min của f(x)=x²−4x+3 trên [3;5]. Đỉnh có x=2 ở ngoài đoạn. Hàm tăng trên [3;5] nên min=f(3)=0, max=f(5)=8. Không được nhận min=−1.
VÍ DỤ 3
Độ cao quả bóng
Cho h(t)=−5t²+20t+1, với t≥0 trong thời gian bóng còn bay, h tính bằng m, t bằng s. Hoàn thành bình phương: h(t)=−5(t−2)²+21. Bóng cao nhất 21 m tại t=2 s. Thời điểm chạm đất giải h(t)=0 và lấy nghiệm dương; nghiệm âm không thuộc mô hình.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- a là hệ số bậc hai, bắt buộc khác 0.
- Trục đối xứng là đường x=x₀, không phải y=x₀.
- Kiểm miền trước khi nhận giá trị ở đỉnh.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Đỉnh của y=x²−4x+3 là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án D.
y=(x−2)²−1 nên đỉnh (2;−1).
Câu 2. Giá trị lớn nhất của y=−2(x−1)²+5 trên ℝ là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 5.
−2(x−1)²≤0, dấu bằng tại x=1 nên max=5.
Câu 3. Với y=x²−4x+3:
- Đồ thị mở lên.
- Trục đối xứng là x=2.
- Giao Ox tại (1;0),(3;0).
- Hàm đồng biến trên (−∞;2).
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) a=1>0. b) x₀=2. c) (x−1)(x−3)=0. d) Sai, hàm nghịch biến bên trái đỉnh.
Câu 4. Tìm min và max của y=(x−2)²−1 trên [0;3].
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Đỉnh x=2 nằm trong đoạn, y(2)=−1. Hai đầu y(0)=3, y(3)=0. Min=−1 tại 2, max=3 tại 0.
Câu 5. Parabol y=ax²+bx+c đi qua (0;1),(1;0),(2;1). Tìm a,b,c.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Từ (0;1): c=1. Từ (1;0): a+b=−1. Từ (2;1):4a+2b=0. Suy ra a=1,b=−2,c=1, tức y=(x−1)².
Câu 6. Một hình chữ nhật có chu vi 20 m. Tìm diện tích lớn nhất.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Gọi cạnh x, cạnh kia 10−x, 0< x<10. S=x(10−x)=−(x−5)²+25. Max 25 m² tại x=5, hình vuông cạnh 5 m.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.