Bài 15: Hàm số – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 15
Mục tiêu và kiến thức nền
Xác định đầu vào hợp lệ, giá trị hàm số và khoảng đồng biến, nghịch biến.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Tiền gửi xe phụ thuộc thời gian; nhiệt độ phụ thuộc thời điểm. Một quy tắc là hàm số khi mỗi đầu vào trong miền xét có đúng một đầu ra. Điều quan trọng đầu tiên là biết đầu vào nào được phép.
Hàm số và tập xác định
Một hàm số từ tập D đến ℝ gán cho mỗi x thuộc D đúng một số y=f(x). D là tập xác định, tập các giá trị đầu ra đạt được là tập giá trị. Hàm số có thể cho bằng công thức, bảng, đồ thị hoặc quy tắc từng đoạn. Hai đầu vào khác nhau có thể cho cùng đầu ra; điều bị cấm là một đầu vào có hai đầu ra khác nhau.
Điều kiện của công thức
Mẫu số phải khác 0; biểu thức dưới căn bậc hai phải không âm. Nếu căn nằm ở mẫu thì biểu thức dưới căn phải dương. Nhiều điều kiện xuất hiện đồng thời thì lấy giao. Với tình huống thực tế còn có điều kiện thời gian không âm, số lượng nguyên hoặc giới hạn thiết bị. Sau khi rút gọn biểu thức vẫn giữ các giá trị đã bị loại bởi công thức ban đầu.
Đồ thị và biến thiên
Đồ thị gồm các điểm (x; f(x)) với x∈D. Đường thẳng đứng x=c chỉ được cắt đồ thị tại tối đa một điểm. Hàm số đồng biến trên khoảng K nếu x₁< x₂ trong K luôn kéo theo f(x₁)< f(x₂); nghịch biến nếu f(x₁)> f(x₂). Hãy đọc từ trái sang phải. Không suy ra hàm số đồng biến trên toàn miền chỉ vì hai điểm bất kì đang quan sát tăng.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Tập xác định có hai điều kiện
f(x)=√(x+1)/(x−2). Cần x+1≥0 và x−2≠0, tức x≥−1, x≠2. Tập xác định D=[−1;2)∪(2;+∞). Điểm −1 được lấy vì căn bằng 0 vẫn hợp lệ, còn 2 bị loại do mẫu.
VÍ DỤ 2
Đọc hàm từng đoạn
Phí thuê xe tính bằng nghìn đồng: f(t)=10 khi 0< t≤1; f(t)=10+6(t−1) khi 1< t≤5. Khi t=1 dùng nhánh đầu, f(1)=10; khi t=3 dùng nhánh sau, f(3)=22. Các điều kiện nhánh quyết định công thức đúng.
VÍ DỤ 3
Biến thiên của bình phương
f(x)=x² nghịch biến trên (−∞;0), đồng biến trên (0;+∞), đạt giá trị nhỏ nhất 0 tại x=0. Không đồng biến trên ℝ: chẳng hạn −2<−1 nhưng f(−2)=4>1=f(−1).
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Tập xác định gồm giá trị x, tập giá trị gồm giá trị y.
- Không bỏ điều kiện mẫu sau khi rút gọn.
- Đọc đúng nhánh ở điểm nối của hàm từng đoạn.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Điều kiện xác định của 1/√(x−2) là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án C.
Căn ở mẫu phải xác định và khác 0, nên x−2>0.
Câu 2. f(x)=2x²−3. Tính f(−2).
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 5.
2·(−2)²−3=8−3=5.
Câu 3. Với f(x)=x² trên ℝ:
- Tập xác định là ℝ.
- Tập giá trị là [0;+∞).
- Hàm đồng biến trên ℝ.
- f(−3)=f(3).
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
a) Đa thức xác định mọi số thực. b) Bình phương không âm và đạt mọi số không âm. c) Sai ở nửa trục âm. d) Cùng bằng 9.
Câu 4. Tìm tập xác định của √(3−x)/(x+2).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Cần x≤3 và x≠−2. D=(−∞;−2)∪(−2;3].
Câu 5. Quan hệ x=y² với x≥0 có xác định y là hàm số của x không?
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Không, vì với x=1 có y=1 và y=−1. Nếu bổ sung y≥0 thì y=√x là một hàm số.
Câu 6. f(x)=(x²−1)/(x−1). Sau rút gọn thành x+1 có được tính f(1)=2 không?
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Không. Công thức ban đầu không xác định tại x=1. Ta chỉ có f(x)=x+1 với x≠1; đồ thị là đường thẳng bị khuyết điểm (1;2).
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.