Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 18
Mục tiêu và kiến thức nền
Giải phương trình chứa căn bằng biến đổi có điều kiện; loại nghiệm ngoại lai.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Bình phương hai vế có thể làm mất thông tin về dấu. Chẳng hạn −2 và 2 có bình phương bằng nhau nhưng không bằng nhau. Vì vậy giải phương trình chứa căn phải giữ điều kiện hoặc thử lại.
Hai căn bậc hai bằng nhau
Phương trình √A(x)=√B(x) tương đương A(x)=B(x) cùng điều kiện A(x)≥0 và B(x)≥0. Sau khi có A=B, chỉ cần kiểm một biểu thức không âm là đủ. Với A,B là đa thức bậc hai, phương trình A=B thường quy về bậc hai hoặc bậc nhất.
Một căn bằng biểu thức
Phương trình √A(x)=B(x) tương đương A(x)=B(x)² và B(x)≥0. Điều kiện A≥0 tự động được bảo đảm nếu A=B², nhưng khi lập điều kiện ban đầu vẫn có thể ghi đầy đủ để kiểm. Nếu chỉ bình phương rồi nhận mọi nghiệm, ta có thể nhận nghiệm với vế phải âm.
Đặt ẩn phụ và phương trình chứa mẫu
Với phương trình trùng phương ax⁴+bx²+c=0, đặt t=x²≥0, giải theo t rồi quay về x=±√t với t>0, x=0 với t=0. Khi phương trình có mẫu, ghi mẫu khác 0 trước khi quy đồng. Chỉ nhân hai vế với biểu thức chứa ẩn trong miền nó không bằng 0. Cuối cùng thử các nghiệm vào phương trình gốc.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Một nghiệm bị loại
Giải √(x+2)=x. Điều kiện x≥0. Bình phương: x+2=x², hay (x−2)(x+1)=0. Có x=2 hoặc −1, nhưng −1 vi phạm điều kiện. Thử x=2: √4=2. Vậy S={2}.
VÍ DỤ 2
Hai căn
Giải √(2x²−3x+1)=√(x²−1). Bình phương cho x²−3x+2=0, suy ra x=1 hoặc 2. Kiểm x²−1: tại 1 bằng 0, tại 2 bằng 3, đều không âm. Cả hai nghiệm được nhận.
VÍ DỤ 3
Trùng phương
Giải x⁴−5x²+4=0. Đặt t=x²≥0; (t−1)(t−4)=0 nên t=1 hoặc 4, đều hợp lệ. Suy ra x=±1, ±2. Mỗi giá trị t dương cho hai giá trị x, không chỉ căn dương.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- √A là căn không âm; vế kia phải không âm.
- Bình phương là bước dễ sinh nghiệm ngoại lai.
- Quay lại ẩn x và kiểm điều kiện ban đầu.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Điều kiện để hai vế của √(x+2)=x đều xác định và không âm là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án B.
Vế trái không âm nên vế phải x phải ≥0; điều kiện này cũng bảo đảm x+2≥0.
Câu 2. Phương trình √(x+2)=x có nghiệm duy nhất bằng bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2.
Bình phương được x=2 hoặc −1; chỉ x=2 không âm và thỏa phương trình gốc.
Câu 3. Khi giải √A(x)=B(x):
- Vế phải phải không âm.
- Mọi nghiệm của A=B² đều được nhận.
- Thử nghiệm vào phương trình gốc giúp loại ngoại lai.
- Nếu B<0 thì phương trình không thể đúng.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
a) Đúng vì căn bậc hai không âm. b) Sai nếu B âm. c) Đúng. d) Đúng do hai vế trái dấu.
Câu 4. Giải √(3x+4)=x.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Cần x≥0. Bình phương: x²−3x−4=0, tức (x−4)(x+1)=0. Loại −1, nhận 4 vì √16=4.
Câu 5. Giải x⁴−10x²+9=0.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Đặt t=x²≥0, t²−10t+9=(t−1)(t−9)=0. t=1 hoặc 9, nên x=−3,−1,1,3.
Câu 6. Giải √(x²−1)=√(2x+2).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Hai căn bằng nhau cần x²−1=2x+2 và các biểu thức không âm. Phương trình x²−2x−3=0 cho x=3,−1. Tại 3 hai biểu thức bằng 8; tại −1 cùng bằng 0. Nhận cả hai.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.