Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 20
Mục tiêu và kiến thức nền
Phân biệt cắt, song song, trùng; tính góc nhọn và khoảng cách điểm–đường.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Hai đường trên bản đồ có thể giao nhau, song song hoặc trùng hẳn. Tọa độ cho phép kiểm tra mà không phụ thuộc độ chính xác của hình vẽ; khoảng cách đến đường phải đo theo phương vuông góc.
Vị trí tương đối bằng hệ phương trình
Cho d₁: a₁x+b₁y+c₁=0 và d₂: a₂x+b₂y+c₂=0. Nếu a₁b₂−a₂b₁≠0, hệ có một nghiệm, hai đường cắt nhau. Nếu hai vectơ pháp tuyến tỉ lệ, hai đường song song hoặc trùng: kiểm một điểm thuộc đường này có thuộc đường kia không, hoặc kiểm cả ba hệ số có cùng tỉ lệ. Cách định thức tránh lỗi chia cho 0.
Góc giữa hai đường
Góc φ giữa hai đường được lấy trong [0°;90°]. Công thức cos φ=|a₁a₂+b₁b₂|/[√(a₁²+b₁²)√(a₂²+b₂²)]. Dấu giá trị tuyệt đối bảo đảm lấy góc không tù. Hai đường vuông góc khi a₁a₂+b₁b₂=0. Có thể dùng vectơ chỉ phương tương ứng với cùng nguyên tắc.
Khoảng cách từ điểm đến đường
Với M(x₀; y₀), d: ax+by+c=0, khoảng cách d(M,d)=|ax₀+by₀+c|/√(a²+b²). Đây là độ dài đoạn vuông góc từ M đến d, luôn không âm. Điểm nằm trên đường khi khoảng cách bằng 0. Với hai đường song song, chọn một điểm trên đường thứ nhất rồi tính khoảng cách đến đường thứ hai.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Cắt nhau ở đâu?
d₁: x+y−3=0, d₂: x−y−1=0. Cộng hai phương trình được 2x=4, x=2; suy ra y=1. Giao điểm I(2;1). Hai pháp tuyến (1;1),(1;−1) có tích vô hướng 0 nên hai đường vuông góc.
VÍ DỤ 2
Song song hay trùng?
2x−y+1=0 và 4x−2y+5=0 có pháp tuyến cùng phương nhưng hệ số tự do không cùng tỉ lệ: 5≠2·1. Hai đường song song phân biệt. Nếu phương trình thứ hai là 4x−2y+2=0, hai đường trùng.
VÍ DỤ 3
Tính khoảng cách
M(1;2), d:3x+4y−1=0. Khoảng cách = |3+8−1|/√25=10/5=2. Lấy trị tuyệt đối ở tử, không được bỏ căn ở mẫu.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Pháp tuyến cùng phương chưa đủ kết luận trùng.
- Góc giữa đường thẳng dùng trị tuyệt đối ở tử.
- Khoảng cách không mang dấu âm.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. x+y−1=0 và 2x+2y−3=0 có vị trí:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án D.
Pháp tuyến tỉ lệ 2, nhưng hệ số tự do −3 khác −2; hai đường song song phân biệt.
Câu 2. Khoảng cách từ O đến 3x+4y−10=0 là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 2.
|−10|/√(9+16)=10/5=2.
Câu 3. d₁: x+y=0, d₂: x−y=0.
- Hai đường qua O.
- Hai đường vuông góc.
- Góc giữa hai đường là 90°.
- Hai đường trùng nhau.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
a) Thay O đều đúng. b) (1;1)·(1;−1)=0. c) Vuông góc nên 90°. d) Pháp tuyến không tỉ lệ nên không trùng.
Câu 4. Tìm giao điểm x+2y=5 và x−y=2.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Từ x=y+2. Thay vào đầu:3y+2=5 nên y=1,x=3. Giao điểm (3;1).
Câu 5. Tính khoảng cách từ A(−1;2) đến x−2y+1=0.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Tử |−1−4+1|=4, mẫu √5, khoảng cách 4/√5=4√5/5.
Câu 6. Tính góc giữa Ox và đường y=x.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Chỉ phương lần lượt (1;0),(1;1). Cos φ=1/√2 nên φ=45°. Dùng góc giữa đường trong [0°;90°].
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.