Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng toạ độ – Toán 10
TOÁN 10 · BÀI 21
Mục tiêu và kiến thức nền
Đọc tâm, bán kính; nhận dạng phương trình đường tròn và lập tiếp tuyến tại điểm.
Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.
Tập điểm cách một vị trí cố định cùng một khoảng tạo thành đường tròn. Công thức khoảng cách trong Oxy cho ngay phương trình, nhưng dấu của tọa độ tâm thường là chỗ dễ nhầm.
Dạng tâm và bán kính
Đường tròn tâm I(a; b), bán kính R>0 có phương trình (x−a)²+(y−b)²=R². Chú ý vế phải là bình phương bán kính. Điểm M ở trên, trong hoặc ngoài đường tròn khi IM lần lượt bằng, nhỏ hơn hoặc lớn hơn R. Điều này hữu ích để kiểm tra một điểm trước khi lập tiếp tuyến tại nó.
Dạng khai triển
Phương trình x²+y²−2ax−2by+c=0 là đường tròn khi a²+b²−c>0; tâm (a; b), R=√(a²+b²−c). Hai hệ số của x²,y² phải bằng nhau và không có hạng xy sau khi chuẩn hóa. Nếu a²+b²−c=0 chỉ còn một điểm; nếu âm thì không có điểm thực, không gọi là đường tròn bán kính dương.
Tiếp tuyến tại một điểm
Nếu M(x₀; y₀) nằm trên đường tròn, tiếp tuyến tại M vuông góc IM. Chọn pháp tuyến (x₀−a; y₀−b), phương trình tiếp tuyến là (x₀−a)(x−x₀)+(y₀−b)(y−y₀)=0. Một đường thẳng bất kì tiếp xúc đường tròn khi khoảng cách từ tâm đến đường bằng R.
Công thức và điều kiện cần nhớ
Ví dụ có lời giải
VÍ DỤ 1
Đọc đúng dấu
(x−2)²+(y+1)²=9 có tâm I(2;−1), bán kính 3. Điểm M(5;−1) nằm trên đường vì IM=3. Vectơ IM=(3;0), nên tiếp tuyến tại M là x=5.
VÍ DỤ 2
Hoàn thành bình phương
x²+y²−4x+6y−12=0 tương đương (x−2)²+(y+3)²=25. Tâm (2;−3), R=5. Không đọc bán kính là 25.
VÍ DỤ 3
Đường tròn có đường kính AB
A(0;0), B(4;2). Tâm là trung điểm I(2;1), AB=√20=2√5 nên R=√5. Phương trình (x−2)²+(y−1)²=5. Thay A, B đều thỏa để kiểm.
Lỗi thường gặp và cách tự kiểm
- Tâm là (a; b) trong x−a,y−b; không đọc cùng dấu trước số.
- Kiểm R²>0.
- Tiếp tuyến tại M cần M thuộc đường tròn.
Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng
Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.
Câu 1. Tâm của (x+3)²+(y−2)²=16 là:
Xem đáp án và lời giải
Đáp án A.
x+3=x−(−3), y−2 nên tâm (−3;2).
Câu 2. Bán kính của x²+y²=25 là bao nhiêu?
Xem đáp án và lời giải
Đáp án: 5.
R²=25, R>0 nên R=5.
Câu 3. Đường tròn (x−1)²+(y+2)²=4.
- Tâm là (1;−2).
- Bán kính bằng 4.
- (3;−2) thuộc đường tròn.
- Tiếp tuyến tại (3;−2) là x=3.
Xem đáp án và lời giải
a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng.
a) Đọc dạng chuẩn. b) Sai, R=2. c) Thay vào được 4. d) Bán kính nằm ngang nên tiếp tuyến đứng.
Câu 4. Tìm tâm và bán kính của x²+y²−6x+2y+6=0.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Hoàn thành bình phương: (x−3)²+(y+1)²=4. Tâm (3;−1), R=2.
Câu 5. Viết đường tròn đường kính A(−2;0), B(4;0).
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Tâm I(1;0), AB=6 nên R=3. Phương trình (x−1)²+y²=9.
Câu 6. Tìm m để đường y=m tiếp xúc đường tròn x²+y²=9.
Xem đáp án và lời giải
Hướng giải
Khoảng cách từ O đến y=m là |m|. Tiếp xúc khi |m|=3 nên m=3 hoặc −3.
Sơ đồ ghi nhớ
Học tiếp và luyện thêm
Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.