Bài 22: Ba đường conic – Toán 10

TOÁN 10 · BÀI 22

Ba đường conic: elip, hypebol và parabol — hình minh họa nội dung

Mục tiêu và kiến thức nền

Nhận dạng phương trình chính tắc; tìm tiêu điểm, đỉnh và phân biệt ba quỹ tích.

Chuẩn bị: ôn bài liền trước trong cùng chủ đề; đọc rõ điều kiện và đơn vị của dữ kiện.

Cắt một mặt nón bằng các mặt phẳng thích hợp tạo ra elip, hypebol hoặc parabol. Trong mặt phẳng, mỗi đường có thể được hiểu bằng một quy tắc về khoảng cách; phương trình giúp đọc hình chính xác.

Elip: tổng khoảng cách không đổi

Elip có hai tiêu điểm F₁,F₂ và MF₁+MF₂=2a lớn hơn F₁F₂. Dạng chính tắc có trục lớn trên Ox: x²/a²+y²/b²=1, a> b>0. Đặt c=√(a²−b²), tiêu điểm (±c;0), đỉnh (±a;0),(0;±b). Độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b. Không nhầm bán trục với độ dài cả trục.

Hypebol: hiệu tuyệt đối khoảng cách

Hypebol thỏa |MF₁−MF₂|=2a nhỏ hơn F₁F₂. Dạng x²/a²−y²/b²=1, a,b>0 có c=√(a²+b²), tiêu điểm (±c;0), hai đỉnh (±a;0). Đường gồm hai nhánh, mở theo Ox. Hai tiệm cận y=±(b/a)x giúp hình dung hướng nhánh; đường không cắt trục Oy. Nếu đổi dấu hai phân thức, hướng mở thay đổi.

Parabol: cách đều điểm và đường

Parabol là tập điểm cách đều tiêu điểm F và đường chuẩn d, với F không thuộc d. Dùng quy ước y²=2px, p>0: đỉnh O, tiêu điểm F(p/2;0), đường chuẩn x=−p/2, mở sang phải. Một số tài liệu viết y²=4ax, khi ấy tiêu điểm (a;0); cần đọc hệ số theo đúng quy ước. Parabol y=ax² trong bài hàm số mở theo Oy, không được nhầm hướng với y²=2px.

Công thức và điều kiện cần nhớ

\frac{x²}{a²} + \frac{y²}{b²} = 1; c² = a² − b²

\frac{x²}{a²} − \frac{y²}{b²} = 1; c² = a² + b²

y² = 2px; F(\frac{p}{2}; 0); d: x = − \frac{p}{2}

Elip a=5,b=3 có hai tiêu điểm (−4;0),(4;0); tổng khoảng cách tới hai tiêu điểm bằng 10.

Ba đường conic: elip, hypebol và parabol

Ví dụ có lời giải

VÍ DỤ 1

Elip

x²/25+y²/9=1 có a=5,b=3,c=4. Tiêu điểm (−4;0),(4;0); trục lớn dài 10, trục nhỏ dài 6. Với mọi M trên elip, MF₁+MF₂=10.

VÍ DỤ 2

Hypebol

x²/9−y²/16=1 có a=3,b=4,c=5. Tiêu điểm (±5;0), đỉnh (±3;0), hiệu tuyệt đối hai khoảng cách bằng 6. Không dùng c²=a²−b² như elip.

VÍ DỤ 3

Parabol

y²=8x cho 2p=8, p=4. Tiêu điểm (2;0), đường chuẩn x=−2. Điểm M(2;4) thuộc parabol vì 16=8·2. Khoảng cách MF=4, khoảng cách đến đường chuẩn cũng 4.

Lỗi thường gặp và cách tự kiểm

Elip: c²=a²−b²; hypebol: c²=a²+b².
Trục dài 2a, không phải a.
Parabol: xác định quy ước 2p hoặc 4a trước khi tìm tiêu điểm.

Tự luyện: từ nhận biết đến vận dụng

Hãy tự làm trước, sau đó mở lời giải để đối chiếu cách nghĩ và kết quả.

Câu 1. Tiêu cự F₁F₂ của x²/25+y²/9=1 là:

Xem đáp án và lời giải

Đáp án B.

c=√(25−9)=4 nên F₁F₂=2c=8.

Câu 2. Parabol y²=12x có tiêu điểm (a;0). Tìm a.

Xem đáp án và lời giải

Đáp án: 3.

2p=12 nên p=6, tiêu điểm p/2=3.

Câu 3. Hypebol x²/9−y²/16=1:

a=3,b=4.
c=5.
Hai đỉnh là (±3;0).
Hai tiêu điểm là (±4;0).

Xem đáp án và lời giải

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.

a) Căn mẫu. b) c²=9+16=25. c) Đỉnh ±a. d) Sai, tiêu điểm ±5.

Câu 4. Viết elip có trục lớn trên Ox, a=5 và tiêu điểm (±3;0).

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

c=3, b²=a²−c²=25−9=16. Phương trình x²/25+y²/16=1.

Câu 5. Tìm tiêu điểm và đường chuẩn của y²=4x; kiểm điểm (1;2).

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

2p=4 nên p=2. F(1;0), d: x=−1. M(1;2) thuộc vì 4=4·1; MF=2 và khoảng cách tới d=|1+1|=2.

Câu 6. Vì sao x²/9+y²/16=1 không có trục lớn trên Ox?

Xem đáp án và lời giải

Hướng giải

Mẫu lớn hơn nằm dưới y² nên bán trục dọc là 4, lớn hơn bán trục ngang 3. Trục lớn nằm trên Oy, không thể gán a=3 theo quy ước a> b cho dạng trục lớn Ox.

Sơ đồ ghi nhớ

Học tiếp và luyện thêm

Biên soạn/biên tập: Gia Sư SV.