Phương pháp giải bài tập chuyển hóa năng lượng

Vật lí 11 · Chương 1: Dao động · Chủ đề 6

Giải bài tỉ số động năng–thế năng, đồ thị năng lượng, điều kiện đầu và con lắc đơn góc nhỏ.

Tại li độ bằng nửa biên độ, thế năng bằng một phần tư cơ năng.

Mục tiêu và kiến thức nền

Giải bài tỉ số động năng–thế năng, đồ thị năng lượng, điều kiện đầu và con lắc đơn góc nhỏ.

Nắm W = Wđ + Wt, các biểu thức năng lượng, phép lấy căn, đơn vị radian và cách đọc trục đồ thị.

Hiểu khái niệm

Nhiều bài năng lượng không cần tìm pha. Khi đề chỉ cho tỉ số giữa động năng và thế năng, hãy chia biểu thức cho cơ năng để loại các đại lượng chưa cần biết. Khi đọc đồ thị theo thời gian, phải phân biệt chu kì của năng lượng với chu kì của li độ.

Công thức và điều kiện áp dụng

Động năng bằng n lần thế năng

W_{đ} = n W_{t} ⇒ W = (n + 1) W_{t}

n ≥ 0, mốc thế năng dao động ở O.

Li độ và tốc độ tương ứng

| x | = \frac{A}{\sqrt{n + 1}}; | v | = v_{max} √ [\frac{n}{n + 1}]

Chỉ cho độ lớn. Dấu của x và v cần xác định từ vị trí và chiều chuyển động.

Từ trạng thái ban đầu

A^{2} = {x_{0}}^{2} + \frac{{v_{0}}^{2}}{ω^{2}}

Phải thống nhất đơn vị x₀ và $\frac{v_{0}}{ω}$ .

Đồ thị năng lượng

T = 2 T E; W = W_{đ}, m a x = W_{t}, m a x

Chọn hai cực đại liên tiếp của cùng một năng lượng để đo TE.

Con lắc đơn góc nhỏ

ω \approx √ (\frac{g}{ℓ}); W \approx \frac{m g ℓ {α_{0}}^{2}}{2}

α₀ nhỏ và đo bằng rad; biên độ cung A = ℓα₀. Bỏ qua ma sát.

Phương pháp giải

Bài tỉ số: từ Wđ = nWt suy ra W = (n + 1)Wt, rồi dùng $\frac{W_{t}}{W}$ = $\frac{x^{2}}{A^{2}}$ . Bài đồ thị: đọc đơn vị trục trước, đọc tung độ cực đại để tìm W, đọc chu kì năng lượng để tìm T. Bài trạng thái đầu: tính A hoặc W từ tổng động năng và thế năng. Chỉ tìm pha khi bài hỏi thời điểm hoặc chiều.

Thời điểm năng lượng bằng nhau

Wđ = Wt tại x = ± $\frac{A}{\sqrt{2}}$ . Với x = Acos(ωt), lần đầu đạt điều kiện này là t = $\frac{T}{8}$ ; hai lần liên tiếp cách nhau $\frac{T}{4}$ . Không áp dụng khoảng $\frac{T}{4}$ cho mọi tỉ số $\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ . Với con lắc đơn, thế năng chính xác so với vị trí thấp nhất là mgℓ(1 − cosα); biểu thức $\frac{m g ℓ α^{2}}{2}$ chỉ là gần đúng khi góc nhỏ.

Ví dụ có lời giải

Con lắc ngang k = 100 N/m. Tại x = 8 cm có Wđ = Wt. Wt = 100 × $\frac{{0,08}^{2}}{2}$ = 0,32 J, do đó W = 0,64 J. Suy ra A² = $\frac{2 W}{k}$ = 0,0128 m², nên A = 8√2 cm. Không đặt x = A vì tại biên động năng bằng 0.

Chọn công thức theo dữ kiện

Dữ kiện đã biết	Cách giải nhanh
m, ω, A	E = $\frac{m ω^{2} A^{2}}{2}$
k, x, v, m	E = $\frac{k x^{2}}{2}$ + $\frac{m v^{2}}{2}$
k, m, a, v	x = − $\frac{m a}{k}$ , rồi tính tổng năng lượng
$\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ = n	\|x\| = $\frac{A}{\sqrt{n + 1}}$
Đồ thị năng lượng theo t	Đọc E và TE, suy ra T = 2TE
Đồ thị Wđ theo x	Đỉnh cho E; giao trục x cho ±A

Giữ đủ chữ số trong các bước trung gian, chỉ làm tròn ở kết quả cuối. Khi đề cho đơn vị cm/s, phải đổi sang m/s trước khi tính năng lượng theo J.

Sáu ví dụ tính năng lượng từ trạng thái

Ví dụ 1. Biểu thức động năng và thế năng

Vật có m = 0,2 kg, x = 5cos(20t) cm. Tính cơ năng và viết hai năng lượng theo thời gian.

A = 0,05 m, ω = 20 rad/s. E = 0,1 J. Wt = 0,1cos²(20t) J; Wđ = 0,1sin²(20t) J. Kiểm tra tổng hai biểu thức luôn bằng 0,1 J.

Ví dụ 2. Động năng tại một li độ

Con lắc có m = 0,2 kg, A = 6 cm, ω = 5 rad/s. Tính động năng tại x = 2 cm.

Wđ = $\frac{m ω^{2} (A^{2} - x^{2})}{2}$ = 0,2 × 25 × $\frac{{0,06}^{2} - {0,02}^{2}}{2}$ = 0,008 J = 8 mJ.

Ví dụ 3. Kích thích bằng cả li độ và vận tốc

Vật có m = 2 kg, ω = 4 rad/s. Ban đầu x₀ = 10 cm và vận tốc có độ lớn 1 m/s hướng về O. Tìm động năng tại O, biên độ, $\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ tại x = 15 cm và tốc độ khi Wđ = $\frac{5 W_{t}}{11}$ .

a) E = $\frac{m ω^{2} {x_{0}}^{2}}{2}$ + $\frac{m {v_{0}}^{2}}{2}$ = 0,16 + 1 = 1,16 J. Tại O, động năng bằng 1,16 J.

b) A = √[x₀² + $\frac{{v_{0}}^{2}}{ω^{2}}$ ] = √0,0725 ≈ 0,26926 m = 26,93 cm.

c) Wt(15 cm) = $\frac{m ω^{2} x^{2}}{2}$ = 0,36 J; Wđ = 0,80 J; $\frac{W_{đ}}{W_{t}}$ = $\frac{20}{9}$ ≈ 2,22.

d) $\frac{W_{đ}}{E}$ = $\frac{5}{16}$ , nên |v| = √[2E × $\frac{5}{16 m}$ ] ≈ 0,60208 m/s.

Ví dụ 4. Cơ năng từ vận tốc và gia tốc

Con lắc có m = 1 kg, k = 50 N/m; v = 0,2 m/s và a = −√3 m/s². Tính cơ năng.

x = − $\frac{m a}{k}$ = $\frac{\sqrt{3}}{50}$ m. E = $\frac{m v^{2}}{2}$ + $\frac{k x^{2}}{2}$ = 0,05 J.

Ví dụ 5. Con lắc đơn góc nhỏ

Con lắc có m = 400 g, l = 0,1 m. Khi α = 0,075 rad, tốc độ v = 0,075√3 m/s. Lấy g = 10 m/s². Tính cơ năng theo gần đúng góc nhỏ.

E ≈ $\frac{m v^{2}}{2}$ + $\frac{m g l α^{2}}{2}$ = 0,003375 + 0,001125 = 0,0045 J = 4,5 mJ. Góc được dùng bằng radian.

Ví dụ 6. Con lắc đơn ở góc 30°

Con lắc có l = 1 m, m = 100 g, g = 10 m/s². Khi α = 30°, tốc độ bằng 0,3 m/s. Tính cơ năng, mốc thế năng tại đáy.

Dùng thế năng chính xác: E = mgl(1 − cos30°) + $\frac{m v^{2}}{2}$ ≈ 0,13847 J, làm tròn 0,14 J. Không dùng công thức góc nhỏ tại 30°.

Ba ví dụ đọc đồ thị năng lượng

Ví dụ 7. Đồ thị vận tốc có đơn vị cm/s

Con lắc có m = 0,4 kg, đồ thị v–t như hình. Tìm vận tốc cực đại, động năng cực đại và k.

vmax = 0,3 cm/s = 0,003 m/s. Wđ,max = mvmax²/2 = 0,4 × $\frac{{0,003}^{2}}{2}$ = 1,8 × 10⁻⁶ J = 1,8 μJ.

T = 1,2 s; k = $\frac{4 π^{2} m}{T^{2}}$ ≈ 10,97 N/m. Giá trị năng lượng rất nhỏ phù hợp với tốc độ nhỏ tính bằng cm/s.

Ví dụ 8. Động năng theo li độ

Con lắc có m = 0,4 kg, đồ thị Wđ–x như hình. Tìm E, vmax và thế năng tại x = 2 cm.

E = 80 mJ = 0,08 J. vmax = √( $\frac{2 E}{m}$ ) = √0,4 ≈ 0,63246 m/s = 20√10 cm/s.

Tại x = 2 cm, Wđ = 60 mJ nên Wt = 80 − 60 = 20 mJ. Cũng có A = 4 cm, k = $\frac{2 E}{A^{2}}$ = 100 N/m, Wt = $\frac{k x^{2}}{2}$ = 0,02 J.

Ví dụ 9. Chu kì của thế năng

Con lắc ngang có đồ thị thế năng với cực đại 5 ms và cực tiểu kế tiếp 15 ms. Tìm tần số dao động.

$\frac{T E}{2}$ = 10 ms nên TE = 20 ms; T = 40 ms; f = $\frac{1}{0,040}$ = 25 Hz. Khoảng giữa hai đỉnh thế năng là $\frac{T}{2}$ , không phải T.

Lỗi thường gặp

Nhầm chu kì năng lượng TE với T.
Bỏ đổi mJ sang J khi tính vận tốc.
Cho rằng mọi lần liên tiếp đạt một tỉ số năng lượng đều cách $\frac{T}{4}$ .
Dùng gần đúng góc nhỏ cho góc lớn hoặc dùng độ trong công thức yêu cầu rad.

Tự kiểm tra

Câu 1. A = 6 cm, Wđ = 8Wt. Tìm |x|.

Xem đáp án và lời giải

W = 9Wt nên |x| = $\frac{A}{3}$ = 2 cm.

Câu 2. Hai cực đại động năng liên tiếp cách nhau 0,2 s. Tìm T.

Xem đáp án và lời giải

TE = 0,2 s nên T = 0,4 s.

Câu 3. m = 100 g, Wđ,max = 320 mJ. Tính vmax và làm tròn đến m/s.

Xem đáp án và lời giải

Đổi m = 0,1 kg, W = 0,320 J. vmax = √( $\frac{2 W}{m}$ ) = √6,4 ≈ 2,53 m/s; làm tròn được 3 m/s.

Công thức cần ghi nhớ

Bảo toàn cơ năng

E = W_{đ} + W_{t}

Liên hệ vận tốc và li độ

v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2})

Khi động năng bằng thế năng

| x | = \frac{A}{\sqrt{2}}

Ưu tiên tỉ số năng lượng, kiểm đơn vị và đọc đúng chu kì. Dùng pha khi cần thời điểm, không dùng khi bài chỉ hỏi độ lớn.

Học tiếp và luyện tập

← Tổng hợp Vật lí 11 Chương 1: Dao động