Toán 11 Bài 19: Lôgarit

Lôgarit trả lời câu hỏi: phải nâng cơ số lên số mũ nào để được số đã cho? Hiểu câu hỏi này giúp tránh học thuộc rời rạc các quy tắc.

Mục tiêu: Đổi giữa dạng mũ và lôgarit; dùng đúng điều kiện; rút gọn và vận dụng thang đo.

Kiến thức nền: lũy thừa, phương trình và bất phương trình cơ bản.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Định nghĩa và điều kiện

Với $a > 0$ , $a \neq 1$ , $b > 0$ , $\log_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b$ . Cơ số 1 không tạo được phép toán ngược duy nhất; biểu thức lấy lôgarit phải dương. $\log_{a} 1 = 0$ , $\log_{a} a = 1$ , $a^{\log_{a} b} = b$ .

Ghi nhớ: tích, thương, lũy thừa

Với $u, v > 0$ : $\log_{a} (u v) = \log_{a} u + \log_{a} v$ ; $\log_{a} \frac{u}{v} = \log_{a} u - \log_{a} v$ ; $\log_{a} (u^{r}) = r \log_{a} u$ . Không có quy tắc tách lôgarit của một tổng. Khi đối số là $x^{2}$ và $x \neq 0$ , phải viết $\log_{a} (x^{2}) = 2 \log_{a} | x |$ .

Đổi cơ số và ứng dụng

Với $c > 0$ , $c \neq 1$ , $\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a}$ . Lôgarit thập phân có cơ số 10, kí hiệu $\log$ ; lôgarit tự nhiên có cơ số $e$ , kí hiệu $\ln$ . Thang đo pH ở mô hình phổ thông dùng $p H = - \log [H^{+}]$ , với nồng độ tính bằng mol/L.

Hai đồ thị dùng cùng tỉ lệ hai trục. Hàm mũ đi qua (0;1); hàm lôgarit đi qua (1;0).

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Từ định nghĩa

Tính $\log_{2} \frac{1}{8}$ .

Viết $\frac{1}{8} = 2^{- 3}$ .
Theo định nghĩa, $\log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ .

Ví dụ 2. Biến đổi có điều kiện

Rút gọn $\log_{3} 18 - \log_{3} 2$ .

Hai đối số dương, cơ số 3 hợp lệ.
Gộp thương: $\log_{3} (18 / 2) = \log_{3} 9 = 2$ .

Ví dụ 3. Đọc thang pH

Một dung dịch có $[H^{+}] = 10^{- 5}$ mol/L. Tính pH theo mô hình đã cho.

$p H = - \log (10^{- 5}) = 5$ .
Khi nồng độ tăng 10 lần, pH giảm 1 đơn vị.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không tách lôgarit của một tổng.
Đối số phải dương, cơ số dương và khác 1.
Với $x < 0$ , $\log (x^{2})$ có nghĩa nhưng $2 \log x$ không có nghĩa.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Tính $\log_{10} (10^{- 2})$ .

Xem lời giải

Theo định nghĩa, lôgarit cơ số 10 của $10^{- 2}$ bằng $- 2$ .

Bài tự luyện 2

Tính $\log_{10} (10^{- 3})$ .

Xem lời giải

Theo định nghĩa, lôgarit cơ số 10 của $10^{- 3}$ bằng $- 3$ .

Bài tự luyện 3

Tính $\log_{10} (10^{- 4})$ .

Xem lời giải

Theo định nghĩa, lôgarit cơ số 10 của $10^{- 4}$ bằng $- 4$ .

Bài tự luyện 4

Tính $\log_{10} (10^{- 6})$ .

Xem lời giải

Theo định nghĩa, lôgarit cơ số 10 của $10^{- 6}$ bằng $- 6$ .

Bài tự luyện 5

Cho $a = \log_{2} 3$ . Biểu diễn $\log_{2} 72$ theo $a$ .

Xem lời giải

$72 = 2^{3} \cdot 3^{2}$ , nên $\log_{2} 72 = 3 + 2 \log_{2} 3 = 3 + 2 a$ .

Bài tự luyện 6

Tìm điều kiện xác định của $\log_{x - 1} (5 - x)$ .

Xem lời giải

Cơ số: $x - 1 > 0$ và $x - 1 \neq 1$ , tức $x > 1$ , $x \neq 2$ . Đối số: $5 - x > 0$ , tức $x < 5$ . Kết hợp: $1 < x < 5$ , $x \neq 2$ .

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.