Toán 11 Bài 18: Lũy thừa với số mũ thực

Lũy thừa với số mũ thực – Toán 11 Bài 18 – Gia Sư SV

Vì sao $16^{1 / 2} = 4$ và $16^{- 1 / 2}$ lại bằng một phần tư? Bài học nối lũy thừa quen thuộc với căn thức, rồi mở rộng sang số mũ thực.

Mục tiêu: Nhận biết điều kiện của cơ số; đổi căn sang lũy thừa; rút gọn và so sánh biểu thức.

Kiến thức nền: lũy thừa, phương trình và bất phương trình cơ bản.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Từ số mũ nguyên đến số mũ hữu tỉ

Với $a \neq 0$ , $a^{0} = 1$ và $a^{- n} = \frac{1}{a^{n}}$ ( $n$ nguyên dương). Với $a > 0$ , $m$ nguyên và $n \geq 2$ nguyên, $a^{m / n} = \sqrt[n]{a^{m}}$ . Dấu âm ở số mũ tạo nghịch đảo, không làm giá trị lũy thừa âm.

Ghi nhớ: quy tắc và điều kiện

Với $a, b > 0$ và $r, s \in R$ : $a^{r} a^{s} = a^{r + s}$ ; $\frac{a^{r}}{a^{s}} = a^{r - s}$ ; $(a^{r})^{s} = a^{r s}$ ; $(a b)^{r} = a^{r} b^{r}$ ; $(\frac{a}{b})^{r} = \frac{a^{r}}{b^{r}}$ . Quy ước cơ số dương giúp các phép biến đổi đúng với mọi số mũ thực. Không áp dụng máy móc quy tắc lũy thừa lồng nhau cho cơ số âm.

So sánh và mô hình tăng trưởng

Nếu $a > 1$ , số mũ lớn hơn cho giá trị lớn hơn. Nếu $0 < a < 1$ , thứ tự đảo lại. Khi tăng đều $r$ mỗi chu kì, đại lượng sau $n$ chu kì là $A = A_{0} (1 + r)^{n}$ , trong đó $r$ viết ở dạng thập phân. Mô hình chỉ phù hợp khi tốc độ và cách ghép chu kì được giữ ổn định.

Hai đồ thị dùng cùng tỉ lệ hai trục. Hàm mũ đi qua (0;1); hàm lôgarit đi qua (1;0).

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Đổi căn và tính giá trị

Tính $27^{2 / 3} + 16^{- 1 / 2}$ .

$27^{2 / 3} = (\sqrt[3]{27})^{2} = 9$ .
$16^{- 1 / 2} = \frac{1}{\sqrt{16}} = \frac{1}{4}$ .
Tổng bằng $\frac{37}{4}$ .

Ví dụ 2. Rút gọn có điều kiện

Với $a > 0$ , rút gọn $\frac{a^{3 / 2} \sqrt{a}}{a^{- 1}}$ .

Đổi $\sqrt{a} = a^{1 / 2}$ .
Tổng số mũ là $\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - (- 1) = 3$ .
Kết quả $a^{3}$ .

Ví dụ 3. Tăng trưởng theo chu kì

Một quần thể ban đầu 800 cá thể, tăng 10% mỗi chu kì. Sau 2 chu kì có bao nhiêu cá thể theo mô hình?

Hệ số tăng là 1,1.
$N = 800 (1, 1)^{2} = 968$ .
Mô hình dự đoán 968 cá thể.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không đổi $a^{- n}$ thành $- a^{n}$ .
Không viết $(a + b)^{r} = a^{r} + b^{r}$ .
Kiểm tra cơ số dương trước khi dùng số mũ thực.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Tìm số mũ $k$ để $a^{2 / 2} a^{2 / 2} = a^{k}$ với mọi $a > 0$ .

Xem lời giải

Cộng hai số mũ: $2 / 2 + 2 / 2 = 2$ ; vậy $k = 2$ .

Bài tự luyện 2

Tìm số mũ $k$ để $a^{3 / 2} a^{3 / 2} = a^{k}$ với mọi $a > 0$ .

Xem lời giải

Cộng hai số mũ: $3 / 2 + 3 / 2 = 3$ ; vậy $k = 3$ .

Bài tự luyện 3

Tìm số mũ $k$ để $a^{4 / 2} a^{4 / 2} = a^{k}$ với mọi $a > 0$ .

Xem lời giải

Cộng hai số mũ: $4 / 2 + 4 / 2 = 4$ ; vậy $k = 4$ .

Bài tự luyện 4

Tìm số mũ $k$ để $a^{5 / 2} a^{5 / 2} = a^{k}$ với mọi $a > 0$ .

Xem lời giải

Cộng hai số mũ: $5 / 2 + 5 / 2 = 5$ ; vậy $k = 5$ .

Bài tự luyện 5

Với $x > 0$ , rút gọn $A = \frac{x^{5 / 3} \sqrt[3]{x}}{x^{1 / 2}}$ .

Xem lời giải

Đổi căn thành $x^{1 / 3}$ . Tử bằng $x^{2}$ ; chia $x^{1 / 2}$ được $A = x^{3 / 2} = x \sqrt{x}$ . Điều kiện $x > 0$ bảo đảm các phép biến đổi.

Bài tự luyện 6

Một lượng vi khuẩn là 500, tăng 20% sau mỗi giờ. Tính lượng sau 3 giờ theo mô hình tăng trưởng đều.

Xem lời giải

Hệ số mỗi giờ bằng 1,2. Sau 3 giờ: $N = 500 (1, 2)^{3} = 864$ . Kết quả 864 vi khuẩn theo mô hình.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.