Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Bài 17Hàm số liên tục

Lý thuyết, đề bài, hình vẽ và thứ tự được trình bày theo tài liệu nguồn Chương 5. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung.

A. Lý thuyết

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_{0} \in (a; b)$ . Hàm số $f (x)$ được gọi là liên tục tại điểm $x_{0}$ nếu

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

Hàm số không liên tục tại $x_{0}$ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Nhận xét: Như vậy $f$ liên tục tại $x_{0}$ khi và chỉ khi đồng thời xảy ra ba điều kiện:

$f (x)$ xác định tại $x_{0}$ (tồn tại $f (x_{0})$ );
Tồn tại ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ , tức ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ = ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ ;
Hai giá trị đó bằng nhau: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Thiếu một trong ba điều kiện thì hàm số gián đoạn tại $x_{0}$ .

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

Định nghĩa:

Hàm số $y = f (x)$ được gọi là liên tục trên khoảng $(a; b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng đó.
Hàm số $y = f (x)$ được gọi là liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu nó liên tục trên khoảng $(a; b)$ , đồng thời ${lim}_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ và ${lim}_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ .

Chú ý: Về mặt trực quan, đồ thị của một hàm số liên tục trên khoảng là một đường liền nét trên khoảng đó; còn tại điểm gián đoạn, đồ thị bị “đứt” hoặc “nhảy bậc”.

3. Tính chất cơ bản

Định lí: Hàm đa thức và các hàm $y = \sin x, y = \cos x$ liên tục trên $R$ ; hàm phân thức hữu tỉ, $y = \tan x, y = \cot x$ và $y = \sqrt{x}$ liên tục trên tập xác định của chúng.

Định lí: Giả sử $y = f (x)$ và $y = g (x)$ là hai hàm số liên tục tại điểm $x_{0}$ . Khi đó

Các hàm số $f (x) + g (x), f (x) - g (x), f (x) \cdot g (x)$ liên tục tại $x_{0}$ ;
Hàm số $\frac{f (x)}{g (x)}$ liên tục tại $x_{0}$ nếu $g (x_{0}) \neq 0$ .

Nhận xét: Nếu $f$ liên tục tại $x_{0}$ thì ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ : có thể tính giới hạn bằng cách thay trực tiếp.

4. Ứng dụng: chứng minh phương trình có nghiệm

Định lí:

$f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f (a) \cdot f (b) < 0$ $⟹$ $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a; b)$ .

Nhận xét: Định lí chỉ khẳng định có nghiệm, không nói nghiệm là duy nhất.

B. Ví dụ

Ví dụ 1.

Xét tính liên tục của hàm số $f (x) = x^{3} - 2 x + 5$ tại điểm $x_{0} = 1$ .

Xem hướng dẫn giải

Ta có $f (1) = 1 - 2 + 5 = 4$ . Vì hàm đa thức có giới hạn tại 1 bằng giá trị tại 1, ${lim}_{x \to 1} f (x) = 4 = f (1)$ . Do đó hàm số liên tục tại 1.

Ví dụ 2.

Xét tính liên tục tại $x_{0} = 1$ của các hàm số sau:

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ 2 & khi x = 1; \end{matrix}$
$g (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 1}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ 3 & khi x = 1 . \end{matrix}$

Xem hướng dẫn giải

Với $x \neq 1$ , $\frac{x^{2} - 1}{x - 1} = x + 1 \to 2$ khi $x \to 1$ .

$f (1) = 2$ bằng giới hạn, nên $f$ liên tục tại 1.
$g (1) = 3 \neq 2$ , nên $g$ không liên tục tại 1.

Ví dụ 3.

Xét tính liên tục của hàm dấu tại điểm $x_{0} = 0$ .

$s (x) = {\begin{matrix} 1 & khi x > 0 \\ 0 & khi x = 0 \\ - 1 & khi x < 0 . \end{matrix}$

Xem hướng dẫn giải

Giới hạn phải tại 0 bằng 1, giới hạn trái bằng −1. Hai giới hạn một bên khác nhau nên giới hạn hai phía không tồn tại; $s$ gián đoạn tại 0, dù $s (0) = 0$ xác định.

Ví dụ 4.

Cho hàm số $g (x) = {\begin{matrix} 2 x + 1 & khi x \geq 2 \\ x^{2} & khi x < 2 . \end{matrix}$

Tính ${lim}_{x \to 2^{+}} g (x)$ và ${lim}_{x \to 2^{-}} g (x)$ .
Xét tính liên tục của hàm số tại $x = 2$ .

Xem hướng dẫn giải

Bên phải dùng $2 x + 1$ , nên giới hạn là 5. Bên trái dùng $x^{2}$ , nên giới hạn là 4.
Hai giới hạn một bên khác nhau; giới hạn hai phía không tồn tại. Vì vậy $g$ không liên tục tại 2. Giá trị $g (2) = 5$ .

Ví dụ 5.

Tìm tham số để mỗi hàm số sau liên tục tại điểm chỉ ra:

$f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & khi x \neq 2 \\ m & khi x = 2 \end{matrix}$ liên tục tại $x_{0} = 2$ .
$f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1} & khi x \neq 1 \\ m & khi x = 1 \end{matrix}$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .
$g (x) = {\begin{matrix} 2 x + a & khi x \geq 1 \\ x^{2} + 3 & khi x < 1 \end{matrix}$ liên tục tại $x_{0} = 1$ .

Xem hướng dẫn giải

Với $x \neq 2$ , $f (x) = x + 2$ nên giới hạn tại 2 bằng 4. Cần $m = 4$ .
Nhân liên hợp cho $\frac{\sqrt{x^{2} + 3} - 2}{x - 1} = \frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + 3} + 2} \to \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Cần $m = \frac{1}{2}$ .
Giới hạn trái tại 1 bằng 4; giới hạn phải và $g (1)$ bằng $2 + a$ . Do đó $2 + a = 4$ , suy ra $a = 2$ .

Ví dụ 6.

Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \sin x & nếu x \geq 0 \\ - x + m & nếu x < 0 \end{matrix}$ liên tục trên $R$ .

Xem hướng dẫn giải

Mỗi nhánh liên tục trên khoảng của nó. Chỉ cần xét tại 0: giới hạn trái bằng $m$ , giới hạn phải và giá trị tại 0 đều bằng 0. Do đó $m = 0$ .

Ví dụ 7.

Tìm giá trị của tham số $a$ để hàm số $f (x) = {\begin{matrix} 2 x - 1 & khi x \leq a \\ x^{2} - 3 & khi x > a \end{matrix}$ liên tục trên $R$ .

Xem hướng dẫn giải

Chỉ cần nối liên tục tại $x = a$ : $2 a - 1 = a^{2} - 3$ . Tương đương $a^{2} - 2 a - 2 = 0$ , nên $a = 1 \pm \sqrt{3}$ .

Ví dụ 8.

Tìm các khoảng liên tục của mỗi hàm số sau:

$f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 3}$
$g (x) = \frac{x}{x^{2} - 4}$
$h (x) = \sqrt{x - 1}$
$k (x) = \tan x$

Xem hướng dẫn giải

Phân thức liên tục trên $(- \infty; 3)$ và $(3; + \infty)$ .
Phân thức liên tục trên $(- \infty; - 2)$ , $(- 2; 2)$ và $(2; + \infty)$ .
Hàm căn xác định và liên tục trên $[1; + \infty)$ ; trên khoảng $(1; + \infty)$ là liên tục hai phía, tại 1 liên tục phải.
Hàm tan liên tục trên mỗi khoảng $(- \frac{π}{2} + k π; \frac{π}{2} + k π), k \in Z$ .

Ví dụ 9.

Xét tính liên tục của hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \sqrt{4 - x^{2}} & khi x \in (- 2; 2) \\ 0 & khi x = \pm 2 \end{matrix}$ trên đoạn $[- 2; 2]$ .

Xem hướng dẫn giải

Trên $(- 2; 2)$ , hàm căn của đa thức dương là liên tục. Tại hai đầu mút, ${lim}_{x \to (- 2)^{+}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0 = f (- 2)$ và ${lim}_{x \to 2^{-}} \sqrt{4 - x^{2}} = 0 = f (2)$ . Vì vậy $f$ liên tục trên $[- 2; 2]$ .

Ví dụ 10.

Chứng minh rằng phương trình $x^{3} - 3 x + 1 = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng $(0; 1)$ .

Xem hướng dẫn giải

Đặt $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . Hàm đa thức liên tục trên $[0; 1]$ , $f (0) = 1$ và $f (1) = - 1$ . Vì $f (0) f (1) = - 1 < 0$ , định lí bảo đảm có ít nhất một nghiệm trong $(0; 1)$ .

Ví dụ 11.

Giá cước gửi một bưu kiện được tính như sau: khối lượng không quá 2 kg thì giá là 30 nghìn đồng; trên 2 kg đến 5 kg thì giá là 50 nghìn đồng; trên 5 kg thì giá là 80 nghìn đồng. Gọi $P (x)$ (nghìn đồng) là giá cước ứng với khối lượng $x$ (kg), có đồ thị như hình bên.

Viết công thức của hàm số $P (x)$ với $x > 0$ .
Hàm số $P (x)$ gián đoạn tại những điểm nào? Giải thích ý nghĩa thực tiễn.

Xem hướng dẫn giải

$P (x) = {\begin{matrix} 30 & 0 < x \leq 2 \\ 50 & 2 < x \leq 5 \\ 80 & x > 5 . \end{matrix}$
Hàm liên tục trong từng khoảng có giá cước cố định, nhưng gián đoạn tại $x = 2$ và $x = 5$ . Khi vượt ngưỡng 2 kg, giá tăng từ 30 lên 50 nghìn; khi vượt ngưỡng 5 kg, giá tăng từ 50 lên 80 nghìn.

Ví dụ 12.

Một hãng taxi tính giá cước như bảng sau:

Giá mở cửa (0,5 km đầu)	Giá cước các km tiếp theo đến 30 km	Giá cước từ km thứ 31
10000 đồng	13500 đồng	11000 đồng

Gọi $T (x)$ (đồng) là số tiền phải trả khi đi $x$ km ( $x \geq 0$ ).

Viết công thức của $T (x)$ .
Xét tính liên tục của $T (x)$ trên $[0; + \infty)$ .

Xem hướng dẫn giải

Theo cách tính giá mở cửa ngay khi sử dụng xe, lấy $T (0) = 10000$ . Khi đó $T (x) = {\begin{matrix} 10000 & 0 \leq x \leq 0, 5 \\ 10000 + 13500 (x - 0, 5) & 0, 5 < x \leq 30 \\ 408250 + 11000 (x - 30) & x > 30 . \end{matrix}$ Trong đó $10000 + 13500 (30 - 0, 5) = 408250$ .
Trong mỗi khoảng, $T$ là hàm hằng hoặc bậc nhất nên liên tục. Tại $x = 0, 5$ hai giá trị nối đều 10000; tại 30 hai giá trị nối đều 408250. Tại 0 giới hạn phải bằng 10000 và bằng $T (0)$ . Vì vậy $T$ liên tục trên $[0; + \infty)$ theo quy ước giá mở cửa trên. Nếu quy ước chưa sử dụng xe thì $T (0) = 0$ , hàm sẽ gián đoạn phải tại 0; cần phân biệt hai cách hiểu.

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên đoạn $[a; b]$ ( $a < b$ ). Khẳng định nào sau đây sai?

Hàm số liên tục trên $(a; b]$ khi và chỉ khi hàm số liên tục trên khoảng $(a; b)$ và ${lim}_{x \to b^{+}} f (x) = f (b)$ .
Hàm số liên tục trên $[a; b)$ khi và chỉ khi hàm số liên tục trên khoảng $(a; b)$ và ${lim}_{x \to a^{+}} f (x) = f (a)$ .
Cho $x_{0} \in (a; b)$ , hàm số liên tục tại $x_{0}$ khi và chỉ khi ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ = ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ = $f (x_{0})$ .
Cho $x_{0} \in (a; b)$ , hàm số có giới hạn là một số thực $L$ tại $x_{0}$ khi và chỉ khi ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ = ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ = $L$ .

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Ở đầu mút phải $b$ phải xét giới hạn trái ${lim}_{x \to b^{-}} f (x) = f (b)$ . Phương án A ghi giới hạn phải nên sai.

Câu 2.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} 3 x + 2 & khi x < - 1 \\ x^{2} - 1 & khi x \geq - 1 . \end{matrix}$ Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau.

$f (x)$ liên tục trên $R$ .
$f (x)$ liên tục trên $[- 1; + \infty)$ .
$f (x)$ liên tục trên $(- \infty; - 1]$ .
$f (x)$ liên tục tại $x = - 1$ .

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Tại −1, giới hạn trái bằng −1, giới hạn phải và giá trị hàm bằng 0, nên hàm không liên tục hai phía. Trên $[- 1; + \infty)$ hàm bằng đa thức $x^{2} - 1$ và liên tục phải ở −1.

Câu 3.

Bạn An xét tính liên tục của

f (x) = 3 x^{2} - 2 x - 1

tại

x_{0} = 1

qua ba bước:

(1) $f (1) = 0$ ;

(2) ${lim}_{x \to 1} f (x)$ = ${lim}_{x \to 1} [(x - 1) (3 x + 1)]$ = ${lim}_{x \to 1} (3 x + 1) = 4$ ;

(3) Vì $f (1) \neq$ ${lim}_{x \to 1} f (x)$ nên hàm số gián đoạn tại $x_{0} = 1$ .

Bạn An làm sai bước nào?

Bước 1.
Bước 1 và bước 2.
Bước 3.
Bước 2.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

Sai ở bước 2: không được bỏ nhân tử $x - 1$ . Giới hạn đúng là $0 \cdot 4 = 0 = f (1)$ , nên hàm liên tục tại 1.

Câu 4.

Có bao nhiêu hàm số trong các hàm số $y = x^{2}; y = \sin x; y = \tan x; y = \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + x + 1}$ liên tục trên $R$ ?

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Có 3 hàm: đa thức $x^{2}$ , $\sin x$ và phân thức có mẫu $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ . Hàm tan không xác định tại $\frac{π}{2} + k π$ .

Câu 5.

Hàm số nào sau đây không liên tục trên khoảng $(1; + \infty)$ ?

$y = x^{2} - 2 x + 2$
$y = \frac{2 x + 3}{x - 1}$
$y = \sqrt{x - 1}$
$y = \frac{\sqrt{x}}{x - 2}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

Phương án D không xác định tại $x = 2 \in (1; + \infty)$ . Các hàm còn lại xác định và liên tục trên toàn khoảng đã cho.

Câu 6.

Hàm số nào sau đây liên tục tại điểm $x = 2$ ?

$y = | x - 2 |$
$y = \frac{1}{x^{2} - 4}$
$y = \frac{1}{x - 2}$
$y = \frac{x}{| x - 2 |}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Hàm trị tuyệt đối $| x - 2 |$ liên tục tại 2. Ba phương án còn lại có mẫu bằng 0 tại 2.

Câu 7.

Nếu $f$ và $g$ cùng liên tục tại $x_{0}$ thì hàm số nào sau đây chưa chắc liên tục tại $x_{0}$ ?

$f + g$
$f - g$
$f \cdot g$
$\frac{f}{g}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

Thương còn cần điều kiện $g (x_{0}) \neq 0$ . Tổng, hiệu và tích luôn liên tục khi hai hàm đều liên tục tại điểm đó.

Câu 8.

Hàm số $y = f (x)$ có đồ thị như hình bên. Hàm số gián đoạn tại điểm

$x = 3$
$x = 1$
$x = 0$
$x = 2$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Tại 1, nhánh bên trái tiến tới 3, nhánh bên phải tiến tới 0. Hai giới hạn khác nhau nên hàm gián đoạn tại $x = 1$ .

Câu 9.

Cho $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

$f (0) \cdot f (1) > 0$
$f (0) \cdot f (1) < 0$
$f (0) = f (1)$
$f$ gián đoạn trên $[0; 1]$ .

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

$f (0) = 1, f (1) = - 1$ , nên $f (0) f (1) = - 1 < 0$ .

Câu 10.

Phương trình nào dưới đây có nghiệm trong khoảng $(0; 1)$ ?

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$
$(x - 1)^{5} - x^{7} - 2 = 0$
$3 x^{4} - 4 x^{2} + 5 = 0$
$x^{2021} - 8 x^{2} + 4 = 0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

Với D, đa thức liên tục, giá trị tại 0 là 4 và tại 1 là −3 nên có nghiệm trong $(0; 1)$ . A có nghiệm −1 và 4. B âm trên $(0; 1)$ . C bằng $3 (x^{2} - \frac{2}{3})^{2} + \frac{11}{3} > 0$ , nên không có nghiệm.

Câu 11.

Phương trình $x^{3} - x - 1 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng nào sau đây?

$(- 2; - 1)$
$(- 1; 0)$
$(0; 1)$
$(1; 2)$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

Đặt $f (x) = x^{3} - x - 1$ , liên tục trên $[1; 2]$ . Ta có $f (1) = - 1$ và $f (2) = 5$ , tích âm, nên có nghiệm trong $(1; 2)$ .

Câu 12.

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên đoạn $[1; 5]$ và $f (1) = 2, f (5) = 10$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

Phương trình $f (x) = 6$ vô nghiệm.
Phương trình $f (x) = 7$ có ít nhất một nghiệm trên khoảng $(1; 5)$ .
Phương trình $f (x) = 2$ có hai nghiệm $x = 1, x = 5$ .
Phương trình $f (x) = 7$ vô nghiệm.

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Hàm $g (x) = f (x) - 7$ liên tục trên $[1; 5]$ , $g (1) = - 5$ và $g (5) = 3$ . Vì tích âm, tồn tại ít nhất một nghiệm $g (x) = 0$ trong $(1; 5)$ .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

Câu 13.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} x^{2} + x + 1 & khi x \leq - 1 \\ x + 2 & khi - 1 < x < 1 \\ 2 x + 3 & khi x \geq 1 . \end{matrix}$

Hàm số liên tục tại $x = - 2$ .
Hàm số không liên tục tại $x = 0$ .
Hàm số liên tục tại $x = - 1$ .
Hàm số liên tục tại $x = 1$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai

Tại −2 hàm thuộc nhánh đa thức nên liên tục.
Tại 0 hàm bằng $x + 2$ trên một khoảng quanh 0, nên liên tục; mệnh đề “không liên tục” sai.
Tại −1: giá trị hàm và hai giới hạn một bên đều bằng 1, nên liên tục.
Tại 1: giới hạn trái bằng 3, giới hạn phải và giá trị bằng 5, nên gián đoạn.

Câu 14.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} & nếu x \neq 3 \\ 1 & nếu x = 3 . \end{matrix}$

$f (3)$ không xác định.
${lim}_{x \to 3} f (x) = 1$ .
$f (x)$ gián đoạn tại $x = 3$ .
$f (x)$ liên tục trên $R$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Với $x \neq 3$ , $f (x) = x - 2$ . Tại 3, $f (3) = 1 = 3 - 2$ . Do đó hàm số thực chất bằng $x - 2$ trên toàn $R$ , nên liên tục trên $R$ và giới hạn tại 3 bằng 1.

Câu 15.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} x - 2 & khi x \leq 2 \\ \frac{m x - 2}{x^{2} - 3 x + 2} & khi x > 2 . \end{matrix}$ Khi đó

Hàm số đã cho liên tục tại điểm $x = 2$ với $m \neq 1$ .
$f (2) = 2$ .
Giới hạn ${lim}_{x \to 2^{-}} f (x) = 0$ .
Với $m = 1$ thì hàm số đã cho không liên tục tại $x = 2$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

Ta có $f (2) = 0$ và giới hạn trái tại 2 bằng 0. Với $m \neq 1$ , tử của nhánh phải tiến tới $2 m - 2 \neq 0$ , mẫu dương tiến tới 0, nên không có giới hạn hữu hạn để nối liên tục.

Khi $m = 1$ , nhánh phải rút gọn thành $1 / (x - 1)$ , giới hạn phải tại 2 bằng 1 khác 0. Vì vậy hàm vẫn không liên tục tại 2.

Câu 16.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{2 x + 5} - 1}{x + 2} & khi x \neq - 2 \\ a x + b & khi x = - 2 . \end{matrix}$

Hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = - 3$ .
Hàm số $f (x)$ liên tục trên khoảng $(0; + \infty)$ .
${lim}_{x \to - 2} f (x) = - 1$ .
Hàm số $f (x)$ liên tục tại $x = - 2$ khi và chỉ khi $2 a - b = - 1$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Miền xác định là $[- \frac{5}{2}; + \infty)$ . Với $x \neq - 2$ , nhân liên hợp được $f (x) = \frac{2}{\sqrt{2 x + 5} + 1}$ .

$x = - 3$ ngoài miền xác định, nên không liên tục tại đó.
Trên $(0; + \infty)$ biểu thức căn và mẫu đều xác định, mẫu dương; hàm liên tục.
Giới hạn tại −2 bằng $2 / (1 + 1) = 1$ , không phải −1.
Điều kiện liên tục tại −2 là $f (- 2) = - 2 a + b = 1$ , tương đương $2 a - b = - 1$ .

Câu 17.

Cho các hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 9}{x - 3} & khi x \neq 3 \\ 7 & khi x = 3 \end{matrix}$ và $g (x) = \frac{2}{x + 1}$ .

Hàm số $g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0} = 3$ .
${lim}_{x \to 3} f (x) = 7$ .
Hàm số $f (x)$ liên tục tại điểm $x_{0} = 3$ .
Hàm số $y = f (x) + g (x)$ liên tục tại điểm $x_{0} = 3$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai

$g$ là phân thức có mẫu tại 3 bằng 4 khác 0, nên liên tục tại 3.
Với $x \neq 3$ , $f (x) = x + 3$ nên giới hạn tại 3 bằng 6, không phải 7.
$f (3) = 7$ khác giới hạn 6, nên $f$ gián đoạn tại 3.
Giới hạn của tổng tại 3 là $6 + \frac{1}{2} = \frac{13}{2}$ , nhưng giá trị tổng là $7 + \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$ . Do đó tổng không liên tục tại 3.

Câu 18.

Một bể chứa có 200 lít nước; người ta bơm thêm với tốc độ 30 lít/phút trong 10 phút đầu rồi khóa vòi. Thể tích nước sau $t$ phút là $V (t) = {\begin{matrix} 200 + 30 t & khi 0 \leq t \leq 10 \\ 500 & khi t > 10 . \end{matrix}$

$V (10) = 500$ lít.
${lim}_{t \to 10^{-}} V (t) = {lim}_{t \to 10^{+}} V (t) = 500$ .
Hàm số $V (t)$ liên tục tại $t = 10$ .
Thể tích nước trong bể tăng vô hạn theo thời gian.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

$V (10) = 200 + 30 \cdot 10 = 500$ lít.
Giới hạn trái tại 10 bằng $200 + 30 \cdot 10 = 500$ ; giới hạn phải của nhánh hằng bằng 500.
Hai giới hạn một bên bằng nhau và bằng $V (10) = 500$ , nên liên tục tại 10.
Sau 10 phút đã khóa vòi, thể tích giữ nguyên 500 lít nên không tăng vô hạn.

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Hàm số liên tục

Liên tục tại một điểm

Định nghĩa: $f$ xác định trên $(a; b)$ , $x_{0} \in (a; b)$ .

f liên tục tại x_{0} ⟺ {lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

Trái lại, $f$ gián đoạn tại $x_{0}$ .

Ba điều kiện (thiếu một $⟹$ gián đoạn): (1) Tồn tại $f (x_{0})$ ; (2) tồn tại ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ , tức hai giới hạn một bên bằng nhau; (3) hai giá trị đó bằng nhau.

Liên tục trên khoảng, đoạn

Trên khoảng: $f$ liên tục trên $(a; b)$ nếu $f$ liên tục tại mọi điểm của $(a; b)$ .

Trên đoạn: $f$ liên tục trên $[a; b]$ nếu $f$ liên tục trên $(a; b)$ và

{lim}_{x \to a^{+}} f (x) = f (a), {lim}_{x \to b^{-}} f (x) = f (b) .

Trực quan: Đồ thị hàm liên tục trên một khoảng là một đường liền nét; tại điểm gián đoạn, đồ thị bị đứt hoặc nhảy bậc.

Tính chất cơ bản

Hàm đa thức liên tục trên $R$ . Hàm phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định. $y = \sqrt{x}$ liên tục trên $[0; + \infty)$ .

Nếu $f, g$ liên tục tại $x_{0}$ thì $f + g, f - g, f \cdot g$ liên tục tại $x_{0}$ ; $f / g$ liên tục tại $x_{0}$ khi $g (x_{0}) \neq 0$ .

Hệ quả: $f$ liên tục tại $x_{0}$ $⟹$ tính giới hạn bằng cách thay trực tiếp: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Ứng dụng: phương trình có nghiệm

Định lí: $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f (a) \cdot f (b) < 0$ $⟹$ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a; b)$ .

Lưu ý: Định lí chỉ khẳng định có nghiệm, không nói nghiệm là duy nhất.

E. Học & Thi

Em làm các câu hỏi trong bài, rồi mở hướng dẫn giải để đối chiếu từng bước. Em có thể luyện thêm với bộ 26 câu trên Học & Thi.

Luyện tập trên Học & Thi

Hàm số liên tục Toán 11 – Điều kiện, định lí và bài tập

A. Lý thuyết

1. Hàm số liên tục tại một điểm

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, một đoạn

3. Tính chất cơ bản

4. Ứng dụng: chứng minh phương trình có nghiệm

B. Ví dụ

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Hàm số liên tục

Liên tục tại một điểm

Liên tục trên khoảng, đoạn

Tính chất cơ bản

Ứng dụng: phương trình có nghiệm

E. Học & Thi