Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Bài 16Giới hạn của hàm số

Lý thuyết, đề bài, hình vẽ và thứ tự được trình bày theo tài liệu nguồn Chương 5. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung.

A. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa: Cho khoảng $(a; b)$ chứa $x_{0}$ và hàm số $y = f (x)$ xác định trên $(a; b) ⧵ {x_{0}}$ . Ta nói hàm số $f (x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_{0}$ nếu với dãy số $(x_{n})$ bất kì, $x_{n} \in (a; b) ⧵ {x_{0}}$ và $x_{n} \to x_{0}$ , ta có $f (x_{n}) \to L$ . Kí hiệu

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L hay f (x) \to L khi x \to x_{0} .

Định lí (Các quy tắc tính giới hạn): Nếu ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = M$ thì

${lim}_{x \to x_{0}} [f (x) + g (x)] = L + M$ ;
${lim}_{x \to x_{0}} [f (x) - g (x)] = L - M$ ;
${lim}_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = L \cdot M$ ;
${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{L}{M}$ (nếu $M \neq 0$ ).

Ngoài ra, nếu $f (x) \geq 0$ trên một khoảng chứa $x_{0}$ (có thể trừ $x_{0}$ ) thì $L \geq 0$ và ${lim}_{x \to x_{0}} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$ .

Chú ý: Với hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ xác định tại $x_{0}$ , ta chỉ việc thay trực tiếp $x = x_{0}$ . Nếu thay vào được dạng vô định $\frac{0}{0}$ , ta phải khử dạng vô định bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp rồi rút gọn.

2. Giới hạn một bên

Định nghĩa:

Cho $f (x)$ xác định trên $(x_{0}; b)$ . Ta nói $f (x)$ có giới hạn bên phải là $L$ khi $x \to x_{0}$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$ thỏa $x_{0} < x_{n} < b$ , $x_{n} \to x_{0}$ thì $f (x_{n}) \to L$ ; kí hiệu ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .
Cho $f (x)$ xác định trên $(a; x_{0})$ . Giới hạn bên trái ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$ được định nghĩa tương tự.

Định lí:

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L ⟺ {lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = {lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L .

Do đó, nếu hai giới hạn một bên tồn tại nhưng khác nhau thì ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ không tồn tại.

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Định nghĩa: Cho hàm số $y = f (x)$ xác định trên $(a; + \infty)$ . Ta nói $f (x)$ có giới hạn là $L$ khi $x \to + \infty$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$ thỏa $x_{n} > a$ và $x_{n} \to + \infty$ thì $f (x_{n}) \to L$ ; kí hiệu ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = L$ . Giới hạn khi $x \to - \infty$ được định nghĩa tương tự.

Nhận xét: Một số giới hạn đặc biệt: với $k$ nguyên dương,

{lim}_{x \to + \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0; {lim}_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0; {lim}_{x \to \pm \infty} c = c .

Các quy tắc tính giới hạn ở mục 1 trên vẫn đúng khi thay $x \to x_{0}$ bởi $x \to + \infty$ hoặc $x \to - \infty$ .

4. Giới hạn vô cực

Định nghĩa: Ta nói ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ nếu với mọi dãy $(x_{n})$ dần tới $x_{0}$ (khác $x_{0}$ ) thì $f (x_{n}) \to + \infty$ ; tương tự cho $- \infty$ và cho các giới hạn một bên.

Chú ý: Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực. Ta dùng hai bảng quy tắc sau (vẫn đúng khi $x \to x_{0}^{+}$ hoặc $x \to x_{0}^{-}$ ).

Nhận xét: Một số giới hạn đặc biệt: với $k$ nguyên dương,

{lim}_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty; {lim}_{x \to - \infty} x^{k} = + \infty (k chẵn); {lim}_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty (k lẻ) .

$lim f (x)$	$lim g (x)$	$lim [f (x) g (x)]$
$L > 0$	$+ \infty$	$+ \infty$
$L > 0$	$- \infty$	$- \infty$
$L < 0$	$+ \infty$	$- \infty$
$L < 0$	$- \infty$	$+ \infty$

$lim f (x)$	$lim g (x)$	Dấu $g (x)$	$lim \frac{f (x)}{g (x)}$
$L$	$\pm \infty$	tùy ý	$0$
$L > 0$	$0$	$+$	$+ \infty$
$L > 0$	$0$	$-$	$- \infty$
$L < 0$	$0$	$+$	$- \infty$
$L < 0$	$0$	$-$	$+ \infty$

B. Ví dụ

Ví dụ 1.

Tính các giới hạn sau:

${lim}_{x \to 2} (3 x^{2} - x + 1)$
${lim}_{x \to - 1} \frac{2 x + 3}{x^{2} + 2}$

Xem hướng dẫn giải

Thay trực tiếp $x = 2$ : $3 \cdot 2^{2} - 2 + 1 = 11$ .
Mẫu tại $x = - 1$ bằng 3 khác 0; giới hạn là $\frac{2 (- 1) + 3}{(- 1)^{2} + 2} = \frac{1}{3}$ .

Ví dụ 2.

Tính các giới hạn sau (dạng vô định $\frac{0}{0}$ ):

${lim}_{x \to 3} \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$
${lim}_{x \to 1} \frac{x^{2} - 3 x + 2}{x - 1}$
${lim}_{x \to - 2} \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x + 2}$
${lim}_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$
${lim}_{x \to 2} \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 3 x + 2}$
${lim}_{x \to 5} \frac{x^{2} - 12 x + 35}{25 - 5 x}$

Xem hướng dẫn giải

Với $x \neq 3$ , rút gọn thành $x + 3$ , giới hạn bằng 6.
Với $x \neq 1$ , rút gọn thành $x - 2$ , giới hạn bằng −1.
Với $x \neq - 2$ , rút gọn thành $x + 3$ , giới hạn bằng 1.
Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 2} \to \frac{1}{4}$ .
$\frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 1)} = \frac{x + 2}{x - 1} \to 4$ .
$\frac{(x - 5) (x - 7)}{- 5 (x - 5)} = - \frac{x - 7}{5} \to \frac{2}{5}$ .

Ví dụ 3.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} x + 1 & khi x \geq 1 \\ 2 x & khi x < 1 . \end{matrix}$

Tính ${lim}_{x \to 1^{+}} f (x)$ và ${lim}_{x \to 1^{-}} f (x)$ .
Hàm số có giới hạn tại $x = 1$ hay không?

Xem hướng dẫn giải

Bên phải dùng $x + 1$ , bên trái dùng $2 x$ . Hai giới hạn đều bằng 2.
Hai giới hạn một bên bằng nhau, nên ${lim}_{x \to 1} f (x) = 2$ .

Ví dụ 4.

Cho hàm số $g (x) = \frac{| x - 2 |}{x - 2}$ với $x \neq 2$ . Tính các giới hạn một bên tại $x = 2$ và cho biết ${lim}_{x \to 2} g (x)$ có tồn tại không.

Xem hướng dẫn giải

Khi $x > 2$ , $g (x) = 1$ ; khi $x < 2$ , $g (x) = - 1$ . Vì vậy ${lim}_{x \to 2^{+}} g (x) = 1$ và ${lim}_{x \to 2^{-}} g (x) = - 1$ . Hai giới hạn khác nhau, nên giới hạn hai phía tại 2 không tồn tại.

Ví dụ 5.

Tính các giới hạn sau:

${lim}_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x - 3}$
${lim}_{x \to - \infty} \frac{3 x^{2} - x}{x^{2} + 1}$
${lim}_{x \to + \infty} \frac{x + 2}{x^{2} + 1}$
${lim}_{x \to + \infty} \frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x + 2}$
${lim}_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Xem hướng dẫn giải

$\frac{2 + 1 / x}{1 - 3 / x} \to 2$ .
$\frac{3 - 1 / x}{1 + 1 / x^{2}} \to 3$ .
$\frac{1 / x + 2 / x^{2}}{1 + 1 / x^{2}} \to 0$ .
Khi $x \to + \infty$ , $\frac{\sqrt{4 x^{2} + 1}}{x + 2} = \frac{\sqrt{4 + 1 / x^{2}}}{1 + 2 / x} \to 2$ .
Khi $x < 0$ , $\sqrt{x^{2} + 1} = - x \sqrt{1 + 1 / x^{2}}$ , nên thương tiến tới −1.

Ví dụ 6.

Tính các giới hạn vô cực sau:

${lim}_{x \to 1} \frac{1}{| x - 1 |}$
${lim}_{x \to 0} \frac{x + 1}{x^{2}}$
${lim}_{x \to 2^{+}} \frac{1}{x - 2}$
${lim}_{x \to 2^{-}} \frac{1}{x - 2}$

Xem hướng dẫn giải

Mẫu dương tiến tới 0, nên giới hạn là $+ \infty$ .
Tử tiến tới 1 dương, mẫu $x^{2}$ dương tiến tới 0: giới hạn $+ \infty$ .
$x - 2 \to 0^{+}$ , nên giới hạn $+ \infty$ .
$x - 2 \to 0^{-}$ , nên giới hạn $- \infty$ .

Ví dụ 7.

Tìm số thực $a$ để hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 4}{x - 2} & khi x \neq 2 \\ a & khi x = 2 \end{matrix}$ có ${lim}_{x \to 2} f (x) = f (2)$ .
Tìm $m$ để hàm số $f_{m} (x) = {\begin{matrix} \frac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} & khi x < 1 \\ m x + 1 & khi x \geq 1 \end{matrix}$ có giới hạn tại $x = 1$ .

Xem hướng dẫn giải

Với $x \neq 2$ , $f (x) = x + 2$ . Giới hạn tại 2 bằng 4, nên $a = 4$ .
Giới hạn trái là ${lim}_{x \to 1^{-}} \frac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \frac{1}{4}$ . Giới hạn phải là $m + 1$ . Điều kiện $m + 1 = \frac{1}{4}$ cho $m = - \frac{3}{4}$ .

Ví dụ 8.

Trong Thuyết tương đối của Einstein, khối lượng của một vật chuyển động với vận tốc $v$ được cho bởi $m (v) = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}$ , trong đó $m_{0}$ là khối lượng của vật khi đứng yên và $c$ là vận tốc ánh sáng.

Tìm tập xác định của hàm số $m (v)$ theo biến $v \geq 0$ .
Tính ${lim}_{v \to c^{-}} m (v)$ và nêu ý nghĩa vật lí của kết quả.

Xem hướng dẫn giải

Mẫu phải xác định và khác 0: $1 - \frac{v^{2}}{c^{2}} > 0$ . Kết hợp $v \geq 0$ cho $D = [0; c)$ .
Với khối lượng nghỉ $m_{0} > 0$ , khi $v \to c^{-}$ mẫu dương tiến tới 0 nên $m (v) \to + \infty$ . Theo công thức đã cho, khối lượng tăng không giới hạn khi vận tốc tiến sát vận tốc ánh sáng từ phía nhỏ hơn.

Ví dụ 9.

Một hòn đá rơi từ đỉnh vách đá cao 30 m xuống đất. Sau $t$ giây, quãng đường hòn đá đã rơi được là $s (t) = 5 t^{2}$ (mét). Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_{0}$ được tính bởi $v (t_{0}) = {lim}_{t \to t_{0}} \frac{s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}}$ . Tính vận tốc của hòn đá tại thời điểm chạm đất (làm tròn đến hàng phần mười).

Xem hướng dẫn giải

Thời điểm chạm đất thỏa $5 t_{0}^{2} = 30$ với $t_{0} > 0$ , nên $t_{0} = \sqrt{6}$ giây.

$\frac{s (t) - s (t_{0})}{t - t_{0}} = \frac{5 (t^{2} - t_{0}^{2})}{t - t_{0}} = 5 (t + t_{0}) \to 10 t_{0}$ . Do đó $v (\sqrt{6}) = 10 \sqrt{6} \approx 24, 5$ $m / s$ .

Ví dụ 10.

Cho hàm số $h (x) = \frac{x^{2} - 4}{| x + 2 |}$ . Tìm ${lim}_{x \to (- 2)^{+}} h (x)$ và ${lim}_{x \to (- 2)^{-}} h (x)$ .

Xem hướng dẫn giải

Với $x > - 2$ , $h (x) = x - 2$ , nên giới hạn phải bằng −4. Với $x < - 2$ , $h (x) = - (x - 2) = 2 - x$ , nên giới hạn trái bằng 4.

Ví dụ 11.

Tính các giới hạn sau:

${lim}_{x \to + \infty} \frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}}$
${lim}_{x \to + \infty} (\sqrt{x^{2} + x + 2} - x)$

Xem hướng dẫn giải

Vì $x > 0$ khi đủ lớn, $\frac{1 - 2 x}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1 / x - 2}{\sqrt{1 + 1 / x^{2}}} \to - 2$ .
Nhân liên hợp: $\sqrt{x^{2} + x + 2} - x = \frac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + x + 2} + x} = \frac{1 + 2 / x}{\sqrt{1 + 1 / x + 2 / x^{2}} + 1} \to \frac{1}{2}$ .

Ví dụ 12.

Cho $a, b$ là các số nguyên và ${lim}_{x \to 1} \frac{a x^{2} + b x - 5}{x - 1} = 7$ . Tính giá trị của $a + b$ .

Xem hướng dẫn giải

Giới hạn hữu hạn buộc tử tại 1 bằng 0: $a + b - 5 = 0$ . Khi đó $a x^{2} + b x - 5 = (x - 1) (a x + a + b)$ và giới hạn bằng $2 a + b = 7$ . Giải hệ cho $a = 2, b = 3$ , do đó $a + b = 5$ .

Ví dụ 13.

Cho hàm số $y = f (x)$ liên tục trên $R$ và thỏa mãn ${lim}_{x \to 1} \frac{f (x) - 16}{x - 1} = 24$ . Giới hạn ${lim}_{x \to 1} \frac{f (x) - 16}{(x - 1) (\sqrt{2 f (x) + 4} + 6)}$ bằng bao nhiêu?

Xem hướng dẫn giải

Từ $f (x) - 16 = (x - 1) \frac{f (x) - 16}{x - 1} \to 0$ suy ra $f (x) \to 16$ (và $f (1) = 16$ do liên tục). Vì thế $\sqrt{2 f (x) + 4} + 6 \to \sqrt{36} + 6 = 12$ .

Giới hạn cần tìm bằng $\frac{24}{12} = 2$ .

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Cho $A =$ ${lim}_{x \to - 1} \frac{x^{2} - x - 2}{x + 1}$ và $B =$ ${lim}_{x \to 0} \frac{2 (\sqrt{3 x + 1} - 1)}{x}$ . Giá trị của $A - 2 B$ là

$- 9$
$- 6$
$6$
$9$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Rút gọn $A = {lim}_{x \to - 1} (x - 2) = - 3$ . Nhân liên hợp cho $B = {lim}_{x \to 0} \frac{6}{\sqrt{3 x + 1} + 1} = 3$ . Vậy $A - 2 B = - 9$ .

Câu 2.

Giả sử ta có ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = L$ và ${lim}_{x \to + \infty} g (x) = M$ với $L, M$ là các số thực bất kì. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

${lim}_{x \to + \infty} \sqrt{f (x)} = \sqrt{L}$
${lim}_{x \to + \infty} [f (x) + g (x)] = L + M$
${lim}_{x \to + \infty} [f (x) - g (x)] = L - M$
${lim}_{x \to + \infty} [f (x) \cdot g (x)] = L \cdot M$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Công thức căn đòi hỏi hàm dưới căn không âm trong miền đang xét. Đề cho $L$ bất kì, chẳng hạn $f (x) = - 1$ thì căn không xác định trong số thực. Các quy tắc tổng, hiệu, tích đều đúng.

Câu 3.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} - \frac{x}{2} + 5 & nếu x \leq 2 \\ \frac{x - 2}{\sqrt{x + 7} - 3} & nếu x > 2 . \end{matrix}$ Chọn khẳng định đúng về ${lim}_{x \to 2} f (x)$ .

${lim}_{x \to 2} f (x) = 4$
${lim}_{x \to 2} f (x) = 6$
Không tồn tại.
${lim}_{x \to 2} f (x) = 5$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Giới hạn trái là $- 2 / 2 + 5 = 4$ . Phía phải, nhân liên hợp cho $f (x) = \sqrt{x + 7} + 3$ , giới hạn bằng 6. Hai giới hạn khác nhau.

Câu 4.

Giá trị của ${lim}_{x \to - \infty} \frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x + 3}$ bằng

$- 2$
$+ \infty$
$- \infty$
$2$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 3}{x^{2} + 6 x + 3} = x \frac{2 + 5 / x - 3 / x^{3}}{1 + 6 / x + 3 / x^{2}}$ ; phân số sau tiến tới 2 dương, còn $x \to - \infty$ .

Câu 5.

Chọn mệnh đề đúng ( $k$ nguyên dương).

${lim}_{x \to - \infty} x^{k} = - \infty$
${lim}_{x \to - \infty} c = - c$
${lim}_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty$
${lim}_{x \to 0} \frac{c}{x^{k}} = 0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Với mọi số nguyên dương $k$ , $x^{k} \to + \infty$ khi $x \to + \infty$ . Ở $- \infty$ phải xét tính chẵn lẻ của $k$ .

Câu 6.

Cho ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = 5$ , ${lim}_{x \to + \infty} g (x) = - 2$ . Tìm $I =$ ${lim}_{x \to + \infty} \frac{2 f (x) + 1}{2 - 3 g (x)}$ .

$- \frac{11}{8}$
$\frac{7}{4}$
$\frac{11}{8}$
$- \frac{11}{4}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Mẫu tiến tới $2 - 3 (- 2) = 8 \neq 0$ . Vì vậy $I = \frac{2 \cdot 5 + 1}{8} = \frac{11}{8}$ .

Câu 7.

Giá trị của ${lim}_{x \to 2^{+}} \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2}$ bằng

$- \infty$
$+ \infty$
$0$
$2$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Với $x > 2$ , $\frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x - 2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{\sqrt{x - 2}}$ . Tử tiến tới 2, mẫu dương tiến tới 0 nên giới hạn $+ \infty$ .

Câu 8.

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$
${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = - \infty$
${lim}_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x^{3}} = - \infty$
${lim}_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\sqrt{x}} = + \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Khi $x \to 0^{+}$ , $1 / x$ dương và tăng không giới hạn, nên bằng $+ \infty$ , không phải $- \infty$ .

Câu 9.

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau.

Nếu ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L > 0$ và ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = + \infty$ thì ${lim}_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = + \infty$ .
Nếu ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L < 0$ và ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = + \infty$ thì ${lim}_{x \to x_{0}} [f (x) \cdot g (x)] = - \infty$ .
Nếu ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L > 0$ và ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = 0$ thì ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = + \infty$ .
Nếu ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L$ và ${lim}_{x \to x_{0}} g (x) = + \infty$ thì ${lim}_{x \to x_{0}} \frac{f (x)}{g (x)} = 0$ .

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

C thiếu điều kiện $g (x) > 0$ gần $x_{0}$ . Lấy $f (x) = 1, g (x) = - (x - x_{0})^{2}$ thì thương tiến tới $- \infty$ .

Câu 10.

Cho hai hàm số $f (x), g (x)$ thỏa mãn ${lim}_{x \to 3} f (x) = 2$ và ${lim}_{x \to 3} g (x) = - \infty$ . Giá trị của ${lim}_{x \to 3} [f (x) \cdot g (x)]$ bằng

$- 2$
$- \infty$
$+ \infty$
$2$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Giới hạn của $f$ dương, $g$ tiến tới $- \infty$ nên tích tiến tới $- \infty$ .

Câu 11.

Hình vẽ bên là đồ thị của một hàm số $y = f (x)$ . Hãy quan sát đồ thị và cho biết ${lim}_{x \to (- 1)^{+}} f (x)$ , ${lim}_{x \to (- 1)^{-}} f (x)$ , ${lim}_{x \to + \infty} f (x)$ , ${lim}_{x \to - \infty} f (x)$ lần lượt có giá trị bằng

$- \infty, + \infty, 1, 1$
$1, + \infty, - \infty, 1$
$+ \infty, - \infty, 1, 1$
$1, 1, + \infty, - \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Nhánh bên phải đường $x = - 1$ đi xuống không giới hạn; nhánh bên trái đi lên không giới hạn. Hai nhánh đều tiến sát đường ngang $y = 1$ khi $x \to \pm \infty$ .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

Câu 12.

Cho hàm số $f (x) = x - 1$ và $g (x) = x^{3}$ .

${lim}_{x \to 1} f (x) = 3$ .
${lim}_{x \to 1} g (x) = 1$ .
${lim}_{x \to 1} [3 f (x) - g (x)] = - 1$ .
${lim}_{x \to 1} \frac{g (x) - 1}{f (x)} = 1$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

${lim}_{x \to 1} f (x) = 0$ , nên a) sai.
${lim}_{x \to 1} g (x) = 1$ .
${lim}_{x \to 1} [3 f (x) - g (x)] = 3 \cdot 0 - 1 = - 1$ .
$\frac{g (x) - 1}{f (x)} = \frac{x^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1 \to 3$ , không phải 1.

Câu 13.

Cho hàm số $f (x) = {\begin{matrix} \frac{x^{2} - 5 x + 6}{x - 3} & khi x < 3 \\ a^{2} - 2 a x + 6 & khi x \geq 3 . \end{matrix}$

Giới hạn ${lim}_{x \to 2} f (x) = 10$ .
Giới hạn ${lim}_{x \to 3^{-}} f (x) = 1$ .
Khi $a = 3$ thì ${lim}_{x \to 3^{+}} f (x) = - 3$ .
Có 2 giá trị của $a$ để hàm số tồn tại giới hạn khi $x \to 3$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Đúng

Với $x < 3$ , $f (x) = x - 2$ . Vì vậy giới hạn tại 2 bằng 0 và giới hạn trái tại 3 bằng 1.

Khi $a = 3$ , giới hạn phải tại 3 là $9 - 18 + 6 = - 3$ . Giới hạn hai phía tại 3 tồn tại khi $a^{2} - 6 a + 6 = 1$ , tương đương $(a - 1) (a - 5) = 0$ , có đúng hai giá trị $a = 1, 5$ .

Câu 14.

Cho hàm số $f (x) = \frac{x^{2} - 4 x + 4}{x^{2} - 5 x + 6}$ .

Với $x \neq 3, x \neq 2$ , ta có $f (x) = \frac{x - 2}{x - 3}$ .
${lim}_{x \to 5} f (x) = \frac{2}{3}$ .
${lim}_{x \to - \infty} f (x) = 1$ .
${lim}_{x \to 3^{+}} f (x) = - \infty$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai

Phân tích $f (x) = \frac{(x - 2)^{2}}{(x - 2) (x - 3)} = \frac{x - 2}{x - 3}$ với $x \neq 2, 3$ .
Thay $x = 5$ được $\frac{3}{2}$ , không phải $\frac{2}{3}$ .
Tử và mẫu cùng bậc, hệ số bậc nhất đều bằng 1, nên giới hạn tại $- \infty$ bằng 1.
Khi $x \to 3^{+}$ , tử tiến tới 1 dương, mẫu dương tiến tới 0: giới hạn $+ \infty$ .

Câu 15.

Nồng độ thuốc trong máu (mg $/l$ ) sau $t$ giờ kể từ khi tiêm được cho bởi $C (t) = \frac{20 t}{t^{2} + 4}$ với $t \geq 0$ .

$C (0) = 0$ và $C (2) = 5$ .
${lim}_{t \to + \infty} C (t) = 0$ .
Sau thời gian đủ dài, nồng độ thuốc trong máu tiến dần về 0.
Nồng độ thuốc tăng không ngừng theo thời gian.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Thay $t = 0$ và $t = 2$ cho $C (0) = 0$ và $C (2) = 40 / 8 = 5$ .
Chia tử và mẫu cho $t^{2}$ : $C (t) = \frac{20 / t}{1 + 4 / t^{2}} \to 0$ .
Đây là ý nghĩa của giới hạn bằng 0 khi thời gian tăng không giới hạn.
Chẳng hạn $C (2) = 5$ nhưng $C (4) = 4 < 5$ , nên nồng độ không tăng không ngừng.

Câu 16.

Số dân của một thị trấn sau $t$ năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số $f (t) = \frac{27 t + 10}{t + 5}$ , trong đó $t > 0$ và $f (t)$ được tính bằng nghìn người. Tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm thứ $t_{0}$ kể từ năm 2000 là $v (t_{0}) = {lim}_{t \to t_{0}} \frac{f (t) - f (t_{0})}{t - t_{0}}$ (nghìn người/năm).

Đến năm 2025 thì dân số của thị trấn là 14,5 nghìn người.
Khi thời gian $t$ càng lớn thì số dân của thị trấn sẽ tiến đến gần 27 nghìn người.
Tốc độ tăng dân số của thị trấn vào năm 2024 là 0,135 nghìn người/năm.
Từ sau năm 2000, có 6 năm tốc độ tăng dân số của thị trấn lớn hơn 1000 người/năm.

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Viết $f (t) = 27 - \frac{125}{t + 5}$ . Khi $t \neq t_{0}$ , thương sai phân bằng $\frac{125}{(t + 5) (t_{0} + 5)}$ , nên $v (t_{0}) = \frac{125}{(t_{0} + 5)^{2}}$ .

Năm 2025 ứng với $t = 25$ : $f (25) = \frac{685}{30} = \frac{137}{6} \approx 22, 833$ nghìn người, không phải 14,5.
${lim}_{t \to + \infty} f (t) = 27$ .
Năm 2024 ứng với $t_{0} = 24$ : $v (24) = \frac{125}{29^{2}} = \frac{125}{841} \approx 0, 14863$ nghìn người/năm, khác 0,135.
1000 người/năm là 1 nghìn người/năm. Điều kiện $\frac{125}{(t + 5)^{2}} > 1$ tương đương $0 < t < 5 \sqrt{5} - 5 \approx 6, 18$ . Xét các năm nguyên sau 2000, có $t = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ , tức 6 năm.

Câu 17.

Cho hàm số $f (x) = \frac{\sqrt{9 x^{2} + x} + x}{x - 1}$ và $g (x) = \frac{40 x}{100 + 4 x}$ (với $x \geq 0$ là thời gian tính bằng phút, $g (x)$ là nồng độ chất tan tính bằng gam/lít).

${lim}_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ .
${lim}_{x \to - \infty} f (x) = - 2$ .
${lim}_{x \to 5} [(x - 5) \cdot g (x)] = 200$ .
Nồng độ chất tan không bao giờ vượt quá 10 gam/lít khi thời gian $x$ càng lớn.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Thay trực tiếp tại 0 cho ${lim}_{x \to 0^{+}} g (x) = 0$ .
Với $x < 0$ đủ âm, $\sqrt{9 x^{2} + x} = - x \sqrt{9 + 1 / x}$ . Do đó $f (x) = \frac{1 - \sqrt{9 + 1 / x}}{1 - 1 / x} \to - 2$ .
$g$ liên tục tại 5, nên ${lim}_{x \to 5} [(x - 5) g (x)] = 0 \cdot g (5) = 0$ , không phải 200.
Với $x \geq 0$ , $g (x) = 10 - \frac{250}{x + 25} < 10$ và $g (x) \to 10$ khi $x \to + \infty$ .

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn tại $x_{0}$

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L$ nếu với mọi dãy $x_{n} \to x_{0}, x_{n} \neq x_{0}$ thì $f (x_{n}) \to L$ .

Quy tắc: Nếu $lim f = L, lim g = M$ thì

lim (f \pm g) = L \pm M; lim (f g) = L M; lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} (M \neq 0); lim \sqrt{f} = \sqrt{L} (f \geq 0) .

Kĩ thuật: Đa thức, phân thức xác định tại $x_{0}$ : thay trực tiếp. Dạng $\frac{0}{0}$ : phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp rồi rút gọn.

Giới hạn một bên

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ : xét mọi $x_{n} \to x_{0}$ với $x_{n} > x_{0}$ ; ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ : với $x_{n} < x_{0}$ .

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L ⟺ {lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = {lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L .

Hai giới hạn một bên khác nhau $⟹$ ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ không tồn tại.

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Định nghĩa: ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = L$ nếu mọi dãy $x_{n} \to + \infty$ đều cho $f (x_{n}) \to L$ (tương tự $x \to - \infty$ ).

{lim}_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0 (k \in N^{*}); {lim}_{x \to \pm \infty} c = c .

Các quy tắc tính giới hạn vẫn đúng khi $x \to \pm \infty$ .

Giới hạn vô cực

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ nếu mọi dãy $x_{n} \to x_{0}$ ( $x_{n} \neq x_{0}$ ) đều cho $f (x_{n}) \to + \infty$ ; tương tự cho $- \infty$ và cho giới hạn một bên.

{lim}_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty; {lim}_{x \to - \infty} x^{k} = {\begin{matrix} + \infty & k chẵn \\ - \infty & k lẻ . \end{matrix}

Quy tắc tính giới hạn vô cực

Lưu ý: Các quy tắc của giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Tích ( $lim f = L, lim g = \pm \infty$ ): $L > 0$ thì tích cùng dấu với giới hạn của $g$ ; $L < 0$ thì kết quả đổi dấu.

Thương ( $lim f = L$ ): $g \to \pm \infty ⟹ f / g \to 0$ .

Khi $g \to 0^{+}$ hay $g \to 0^{-}$ , $L \neq 0$ : $f / g \to + \infty$ nếu $L$ và $g$ cùng dấu, $f / g \to - \infty$ nếu trái dấu. Với $L = 0$ : chưa kết luận.

E. Học & Thi

Em làm các câu hỏi trong bài, rồi mở hướng dẫn giải để đối chiếu từng bước. Em có thể luyện thêm với bộ 26 câu trên Học & Thi.

Luyện tập trên Học & Thi

Giới hạn của hàm số Toán 11 – Lý thuyết và bài tập

A. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

2. Giới hạn một bên

3. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

4. Giới hạn vô cực

B. Ví dụ

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn tại x0

Giới hạn một bên

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Giới hạn vô cực

Quy tắc tính giới hạn vô cực

E. Học & Thi

Giới hạn hữu hạn tại $x_{0}$