Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Chương 5Giới hạn. Hàm số liên tục

Chương 5 gồm Bài 15, Bài 16 và Bài 17. Nội dung theo tài liệu nguồn có 38 ví dụ, 47 câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn, 17 nhóm câu đúng – sai và ba sơ đồ tư duy. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung để em tự đối chiếu.

Nội dung chương

Bài 15. Giới hạn của dãy số
13 ví dụ · 24 câu trắc nghiệm · 5 nhóm đúng – sai.
Lý thuyết · Ví dụ · Bài tập · Sơ đồ tư duy
Luyện tập trên Học & Thi
Bài 16. Giới hạn của hàm số
13 ví dụ · 11 câu trắc nghiệm · 6 nhóm đúng – sai.
Lý thuyết · Ví dụ · Bài tập · Sơ đồ tư duy
Luyện tập trên Học & Thi
Bài 17. Hàm số liên tục
12 ví dụ · 12 câu trắc nghiệm · 6 nhóm đúng – sai.
Lý thuyết · Ví dụ · Bài tập · Sơ đồ tư duy
Luyện tập trên Học & Thi

Sơ đồ tư duy tổng kết chương

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của dãy số

Giới hạn 0

Định nghĩa: ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ : $| u_{n} |$ nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Cơ bản: ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ ( $k \in N^{*}$ ); $lim q^{n} = 0$ ( $| q | < 1$ ).

Kẹp: $| u_{n} | \leq v_{n}$ với mọi $n$ và $lim v_{n} = 0 ⟹ lim u_{n} = 0$ .

u_{n} = \frac{2 (- 1)^{n}}{n} \to 0

Giới hạn hữu hạn $a$

Định nghĩa: $lim u_{n} = a ⟺ lim (u_{n} - a) = 0$ .

Dãy hằng: $u_{n} = c ⟹ lim u_{n} = c$ .

Định lí về giới hạn hữu hạn

Nếu $lim u_{n} = a, lim v_{n} = b$ thì

lim (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b; lim (u_{n} v_{n}) = a b; lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b} (b \neq 0) .

$u_{n} \geq 0, lim u_{n} = a ⟹ a \geq 0, lim \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

Kĩ thuật: Dạng phân thức: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ .

Cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $| q | < 1$ .

S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}, q^{n} \to 0 ⟹ S = u_{1} + u_{2} + \dots = \frac{u_{1}}{1 - q} .

Giới hạn vô cực

Định nghĩa: $lim u_{n} = + \infty$ : $u_{n}$ lớn hơn một số dương lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó. $lim u_{n} = - \infty ⟺ lim (- u_{n}) = + \infty$ .

lim n^{k} = + \infty (k \in N^{*}); lim q^{n} = + \infty (q > 1) .

lim | u_{n} | = + \infty ⟹ lim \frac{1}{u_{n}} = 0 .

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn tại $x_{0}$

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L$ nếu với mọi dãy $x_{n} \to x_{0}, x_{n} \neq x_{0}$ thì $f (x_{n}) \to L$ .

Quy tắc: Nếu $lim f = L, lim g = M$ thì

lim (f \pm g) = L \pm M; lim (f g) = L M; lim \frac{f}{g} = \frac{L}{M} (M \neq 0); lim \sqrt{f} = \sqrt{L} (f \geq 0) .

Kĩ thuật: Đa thức, phân thức xác định tại $x_{0}$ : thay trực tiếp. Dạng $\frac{0}{0}$ : phân tích thành nhân tử hoặc nhân liên hợp rồi rút gọn.

Giới hạn một bên

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ : xét mọi $x_{n} \to x_{0}$ với $x_{n} > x_{0}$ ; ${lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ : với $x_{n} < x_{0}$ .

{lim}_{x \to x_{0}} f (x) = L ⟺ {lim}_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = {lim}_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L .

Hai giới hạn một bên khác nhau $⟹$ ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ không tồn tại.

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Định nghĩa: ${lim}_{x \to + \infty} f (x) = L$ nếu mọi dãy $x_{n} \to + \infty$ đều cho $f (x_{n}) \to L$ (tương tự $x \to - \infty$ ).

{lim}_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^{k}} = 0 (k \in N^{*}); {lim}_{x \to \pm \infty} c = c .

Các quy tắc tính giới hạn vẫn đúng khi $x \to \pm \infty$ .

Giới hạn vô cực

Định nghĩa: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ nếu mọi dãy $x_{n} \to x_{0}$ ( $x_{n} \neq x_{0}$ ) đều cho $f (x_{n}) \to + \infty$ ; tương tự cho $- \infty$ và cho giới hạn một bên.

{lim}_{x \to + \infty} x^{k} = + \infty; {lim}_{x \to - \infty} x^{k} = {\begin{matrix} + \infty & k chẵn \\ - \infty & k lẻ . \end{matrix}

Quy tắc tính giới hạn vô cực

Lưu ý: Các quy tắc của giới hạn hữu hạn không còn đúng cho giới hạn vô cực.

Tích ( $lim f = L, lim g = \pm \infty$ ): $L > 0$ thì tích cùng dấu với giới hạn của $g$ ; $L < 0$ thì kết quả đổi dấu.

Thương ( $lim f = L$ ): $g \to \pm \infty ⟹ f / g \to 0$ .

Khi $g \to 0^{+}$ hay $g \to 0^{-}$ , $L \neq 0$ : $f / g \to + \infty$ nếu $L$ và $g$ cùng dấu, $f / g \to - \infty$ nếu trái dấu. Với $L = 0$ : chưa kết luận.

Sơ đồ tư duy – Hàm số liên tục

Liên tục tại một điểm

Định nghĩa: $f$ xác định trên $(a; b)$ , $x_{0} \in (a; b)$ .

f liên tục tại x_{0} ⟺ {lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0}) .

Trái lại, $f$ gián đoạn tại $x_{0}$ .

Ba điều kiện (thiếu một $⟹$ gián đoạn): (1) Tồn tại $f (x_{0})$ ; (2) tồn tại ${lim}_{x \to x_{0}} f (x)$ , tức hai giới hạn một bên bằng nhau; (3) hai giá trị đó bằng nhau.

Liên tục trên khoảng, đoạn

Trên khoảng: $f$ liên tục trên $(a; b)$ nếu $f$ liên tục tại mọi điểm của $(a; b)$ .

Trên đoạn: $f$ liên tục trên $[a; b]$ nếu $f$ liên tục trên $(a; b)$ và

{lim}_{x \to a^{+}} f (x) = f (a), {lim}_{x \to b^{-}} f (x) = f (b) .

Trực quan: Đồ thị hàm liên tục trên một khoảng là một đường liền nét; tại điểm gián đoạn, đồ thị bị đứt hoặc nhảy bậc.

Tính chất cơ bản

Hàm đa thức liên tục trên $R$ . Hàm phân thức hữu tỉ, lượng giác liên tục trên từng khoảng xác định. $y = \sqrt{x}$ liên tục trên $[0; + \infty)$ .

Nếu $f, g$ liên tục tại $x_{0}$ thì $f + g, f - g, f \cdot g$ liên tục tại $x_{0}$ ; $f / g$ liên tục tại $x_{0}$ khi $g (x_{0}) \neq 0$ .

Hệ quả: $f$ liên tục tại $x_{0}$ $⟹$ tính giới hạn bằng cách thay trực tiếp: ${lim}_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ .

Ứng dụng: phương trình có nghiệm

Định lí: $f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f (a) \cdot f (b) < 0$ $⟹$ phương trình $f (x) = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(a; b)$ .

Lưu ý: Định lí chỉ khẳng định có nghiệm, không nói nghiệm là duy nhất.

Cách học và tự kiểm tra

Với giới hạn dãy số, nhận dạng giới hạn cơ bản, chia cho lũy thừa cao nhất hoặc nhân liên hợp; với cấp số nhân lùi vô hạn, luôn kiểm tra điều kiện trị tuyệt đối công bội nhỏ hơn 1.

Với giới hạn hàm số, kiểm tra điểm đang tiến tới và dấu một bên trước khi biến đổi. Khi xét tính liên tục, so sánh giá trị hàm với giới hạn tại điểm; trên đoạn phải xét đúng giới hạn phải ở đầu trái và giới hạn trái ở đầu phải.

Toán 11 Chương 5: Giới hạn và hàm số liên tục – Lý thuyết, bài tập

Chương 5Giới hạn. Hàm số liên tục

Nội dung chương

Sơ đồ tư duy tổng kết chương

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của dãy số

Giới hạn 0

Giới hạn hữu hạn $a$

Định lí về giới hạn hữu hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

Giới hạn vô cực

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn tại $x_{0}$

Giới hạn một bên

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Giới hạn vô cực

Quy tắc tính giới hạn vô cực

Sơ đồ tư duy – Hàm số liên tục

Liên tục tại một điểm

Liên tục trên khoảng, đoạn

Tính chất cơ bản

Ứng dụng: phương trình có nghiệm

Cách học và tự kiểm tra

Các chương học kỳ I

Toán 11 Chương 5: Giới hạn và hàm số liên tục – Lý thuyết, bài tập

Nội dung chương

Sơ đồ tư duy tổng kết chương

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của dãy số

Giới hạn 0

Giới hạn hữu hạn a

Định lí về giới hạn hữu hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

Giới hạn vô cực

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của hàm số

Giới hạn hữu hạn tại x0

Giới hạn một bên

Giới hạn hữu hạn tại vô cực

Giới hạn vô cực

Quy tắc tính giới hạn vô cực

Sơ đồ tư duy – Hàm số liên tục

Liên tục tại một điểm

Liên tục trên khoảng, đoạn

Tính chất cơ bản

Ứng dụng: phương trình có nghiệm

Cách học và tự kiểm tra

Các chương học kỳ I

Giới hạn hữu hạn $a$

Giới hạn hữu hạn tại $x_{0}$