Gia Sư SV · Toán 11 · Học kỳ I

Bài 15Giới hạn của dãy số

Lý thuyết, đề bài, hình vẽ và thứ tự được trình bày theo tài liệu nguồn Chương 5. Phần hướng dẫn giải được biên soạn bổ sung.

A. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Định nghĩa: Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là 0 khi $n$ dần tới dương vô cực nếu $| u_{n} |$ có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu

{lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0 hay u_{n} \to 0 khi n \to + \infty .

Định lí (Một số giới hạn cơ bản bằng 0):

{lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0 (k nguyên dương); {lim}_{n \to + \infty} q^{n} = 0 (| q | < 1) .

Nếu $| u_{n} | \leq v_{n}$ với mọi $n \geq 1$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ thì ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .

Định nghĩa: Ta nói dãy số $(u_{n})$ có giới hạn là số thực $a$ khi $n$ dần tới dương vô cực nếu

{lim}_{n \to + \infty} (u_{n} - a) = 0,

kí hiệu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = a$ hay $u_{n} \to a khi n \to + \infty$ .

Chú ý: Nếu $u_{n} = c$ (hằng số) thì ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = c$ .

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

Định lí: Nếu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = a$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = b$ thì

${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} + v_{n}) = a + b$ ;
${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} - v_{n}) = a - b$ ;
${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} \cdot v_{n}) = a \cdot b$ ;
${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b}$ (nếu $b \neq 0$ ).

Ngoài ra, nếu $u_{n} \geq 0$ với mọi $n$ và ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = a$ thì $a \geq 0$ và ${lim}_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

Nhận xét: Để tính giới hạn của dãy số dạng phân thức, ta chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ rồi áp dụng các quy tắc trên.

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa: Cấp số nhân vô hạn $(u_{n})$ có công bội $q$ với $| q | < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

Định lí: Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_{n})$ với công bội $q$ ( $| q | < 1$ ). Khi đó tổng của nó là

S = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{n} + \dots : = {lim}_{n \to + \infty} S_{n} = \frac{u_{1}}{1 - q} .

4. Giới hạn vô cực

Định nghĩa:

Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $+ \infty$ nếu $u_{n}$ có thể lớn hơn một số dương lớn tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi; kí hiệu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ .
Dãy số $(u_{n})$ có giới hạn $- \infty$ nếu ${lim}_{n \to + \infty} (- u_{n}) = + \infty$ ; kí hiệu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = - \infty$ .

Nhận xét:

{lim}_{n \to + \infty} n^{k} = + \infty (k nguyên dương); {lim}_{n \to + \infty} q^{n} = + \infty (q > 1) .

Nếu ${lim}_{n \to + \infty} | u_{n} | = + \infty$ thì ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{u_{n}} = 0$ .

B. Ví dụ

Ví dụ 1.

Chứng minh rằng các dãy sau có giới hạn bằng 0:

$u_{n} = \frac{1}{n^{2}}$
$u_{n} = \frac{(- 1)^{n - 1}}{3^{n}}$
$u_{n} = \frac{\sin n}{n}$

Xem hướng dẫn giải

Theo giới hạn cơ bản, ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ .
Ta có $| u_{n} | = {(\frac{1}{3})}^{n} \to 0$ , nên $u_{n} \to 0$ .
Vì $0 \leq | \frac{\sin n}{n} | \leq \frac{1}{n} \to 0$ , định lí kẹp cho $u_{n} \to 0$ .

Ví dụ 2.

Chứng minh rằng:

${lim}_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n} = 2$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{3 \cdot 2^{n} - 1}{2^{n}} = 3$

Xem hướng dẫn giải

$\frac{2 n + 1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2$ .
$\frac{3 \cdot 2^{n} - 1}{2^{n}} = 3 - {(\frac{1}{2})}^{n} \to 3$ .

Ví dụ 3.

Cho hai dãy số không âm $(u_{n}), (v_{n})$ với ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = 3$ . Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, tính:

${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}^{2}}{v_{n} - u_{n}}$
${lim}_{n \to + \infty} \sqrt{u_{n} + 2 v_{n}}$

Xem hướng dẫn giải

Mẫu có giới hạn $3 - 2 = 1 \neq 0$ , nên giới hạn là $\frac{2^{2}}{3 - 2} = 4$ .
Biểu thức dưới căn không âm và tiến tới $2 + 2 \cdot 3 = 8$ . Do đó giới hạn bằng $\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$ .

Ví dụ 4.

Tính các giới hạn sau:

${lim}_{n \to + \infty} \frac{n^{2} + n + 1}{2 n^{2} - 1}$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{3 n - 2}{n + 5}$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{2 n + 1}{n^{2} + 3}$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{n^{3} - 2 n}{4 n^{2} + n}$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1}$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{2^{n} + 3^{n}}{3^{n}}$

Xem hướng dẫn giải

Chia tử và mẫu cho $n^{2}$ : $\frac{1 + 1 / n + 1 / n^{2}}{2 - 1 / n^{2}} \to \frac{1}{2}$ .
$\frac{3 - 2 / n}{1 + 5 / n} \to 3$ .
$\frac{2 / n + 1 / n^{2}}{1 + 3 / n^{2}} \to 0$ .
$\frac{n^{3} - 2 n}{4 n^{2} + n} = n \frac{1 - 2 / n^{2}}{4 + 1 / n} \to + \infty$ .
Với $n > 0$ , $\frac{\sqrt{2 n^{2} + 1}}{n + 1} = \frac{\sqrt{2 + 1 / n^{2}}}{1 + 1 / n} \to \sqrt{2}$ .
$\frac{2^{n} + 3^{n}}{3^{n}} = {(\frac{2}{3})}^{n} + 1 \to 1$ .

Ví dụ 5.

Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

$S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$
$T = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} - \frac{1}{27} + \dots$

Xem hướng dẫn giải

Công bội $q = \frac{1}{2}$ , nên $S = \frac{1}{1 - 1 / 2} = 2$ .
Công bội $q = - \frac{1}{3}$ , nên $T = \frac{1}{1 + 1 / 3} = \frac{3}{4}$ .

Ví dụ 6.

Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số bằng cách dùng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

0,(3) = 0,333…
3,131313…

Xem hướng dẫn giải

$0, (3) = \frac{3}{10} + \frac{3}{100} + \dots = \frac{3 / 10}{1 - 1 / 10} = \frac{1}{3}$ .
$3, 131313 \dots = 3 + \frac{13}{100} + \frac{13}{10000} + \dots = 3 + \frac{13 / 100}{1 - 1 / 100} = \frac{310}{99}$ .

Ví dụ 7.

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng $\frac{2}{3}$ độ cao trước đó, và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần (hình bên). Gọi $u_{n}$ (mét) là độ cao của quả bóng sau lần nảy thứ $n$ .

Viết công thức $u_{n}$ và chứng minh ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
Tính tổng quãng đường quả bóng đi được cho tới khi dừng hẳn.

Xem hướng dẫn giải

$u_{1} = 5 \cdot \frac{2}{3}, u_{n} = 5 {(\frac{2}{3})}^{n}$ . Vì $| \frac{2}{3} | < 1$ , ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ .
Quãng đường gồm lần rơi đầu 5 m và hai lần mỗi độ cao nảy: $S = 5 + 2 \sum_{n = 1}^{\infty} 5 {(\frac{2}{3})}^{n} = 5 + 2 \cdot \frac{10 / 3}{1 - 2 / 3} = 25$ m.

Ví dụ 8.

Nam nghe tiếng mưa rơi lộp độp thưa dần. Khoảng thời gian giữa hai tiếng đầu tiên là 5 giây; mỗi khoảng thời gian tiếp theo bằng $\frac{11}{12}$ khoảng ngay trước đó. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút thì các tiếng mưa rơi “dồn lại” gần như liên tục?

Xem hướng dẫn giải

Theo mô hình các khoảng thời gian đã cho, tổng thời gian kể từ tiếng đầu là tổng cấp số nhân: $T = 5 + 5 \frac{11}{12} + 5 {(\frac{11}{12})}^{2} + \dots = \frac{5}{1 - 11 / 12} = 60$ giây, tức 1 phút. Các khoảng riêng lẻ tiến tới 0 và các thời điểm tiếng rơi tiến tới mốc này.

Ví dụ 9.

Tính các giới hạn sau:

${lim}_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} + n} - n)$
${lim}_{n \to + \infty} (2 n^{3} - n + 1)$

Xem hướng dẫn giải

Nhân liên hợp: $\sqrt{n^{2} + n} - n = \frac{n}{\sqrt{n^{2} + n} + n} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1 / n} + 1} \to \frac{1}{2}$ .
$2 n^{3} - n + 1 = n^{3} (2 - \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{n^{3}}) \to + \infty$ .

Ví dụ 10.

Cho tam giác vuông $A B C$ vuông tại $A$ , có $A B = 5$ và góc $B$ bằng $70^{\circ}$ (hình vẽ bên). Từ $A$ kẻ $A A_{1} ⟂ B C$ , từ $A_{1}$ kẻ $A_{1} A_{2} ⟂ A C$ , sau đó lại kẻ $A_{2} A_{3} ⟂ B C$ . Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn $A A_{1} A_{2} A_{3} \dots$ . Tính độ dài đường gấp khúc này (làm tròn đến hàng phần chục).

Xem hướng dẫn giải

Đặt $θ = \hat{C} = 20^{\circ}$ . Ta có $A A_{1} = A B \sin 70^{\circ} = 5 \sin 70^{\circ}$ . Mỗi đoạn kế tiếp là hình chiếu vuông góc của đoạn trước lên phương mới, nên độ dài các đoạn tạo cấp số nhân có công bội $q = \cos 20^{\circ} = \sin 70^{\circ}$ .

Vì $0 < q < 1$ , tổng độ dài là $L = \frac{5 \sin 70^{\circ}}{1 - \sin 70^{\circ}} \approx 77, 9$ .

Ví dụ 11.

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 50 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể (đơn vị mg) nếu bệnh nhân sử dụng thuốc đều đặn trong một thời gian dài (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Xem hướng dẫn giải

Gọi $A_{n}$ là lượng thuốc ngay sau liều thứ $n$ . Khi đó $A_{1} = 50, A_{n + 1} = 50 + 0, 05 A_{n}$ , nên $A_{n} = 50 \frac{1 - 0, 05^{n}}{1 - 0, 05}$ .

Lượng thuốc ngay sau mỗi liều tiến tới $\frac{50}{0, 95} = \frac{1000}{19} \approx 52, 6$ mg. Ngay trước liều mới, lượng còn lại tiến tới $0, 05 \cdot \frac{1000}{19} = \frac{50}{19} \approx 2, 6$ mg.

Ví dụ 12.

Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ để ${lim}_{n \to + \infty} \frac{a \cdot 4^{n} - 2 \cdot 3^{n}}{3 \cdot 4^{n} + 5 \cdot 2^{n}} = 20$ .

Xem hướng dẫn giải

Chia tử và mẫu cho $4^{n}$ : giới hạn bằng $\frac{a - 2 (3 / 4)^{n}}{3 + 5 (1 / 2)^{n}} \to \frac{a}{3}$ . Do đó $\frac{a}{3} = 20 ⟺ a = 60$ .

Ví dụ 13.

Biết ${lim}_{n \to + \infty} [\sqrt{4 n^{2} - 3 n + 1} - (a n + b)] = 0$ . Tính giá trị của $S = a + 8 b$ .

Xem hướng dẫn giải

Chia biểu thức trong giới hạn cho $n$ cho $2 - a = 0$ , nên $a = 2$ . Khi đó

$\sqrt{4 n^{2} - 3 n + 1} - 2 n = \frac{- 3 n + 1}{\sqrt{4 n^{2} - 3 n + 1} + 2 n} \to - \frac{3}{4}$ . Vì vậy $b = - \frac{3}{4}$ và $S = 2 + 8 (- \frac{3}{4}) = - 4$ .

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Câu 1.

Giá trị của ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{3}}$ bằng

$0$
$1$
$3$
$+ \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Áp dụng giới hạn cơ bản ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ với $k = 3$ .

Câu 2.

Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

$u_{n} = 2^{n}$
$u_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n}$
$u_{n} = n^{2}$
$u_{n} = {(\frac{3}{2})}^{n}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Chỉ công bội $q = \frac{2}{3}$ có $| q | < 1$ . Các dãy còn lại tiến tới $+ \infty$ .

Câu 3.

Cho $c \in R$ và $k$ nguyên dương tùy ý. Mệnh đề nào sau đây sai?

${lim}_{n \to + \infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = + \infty$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0$
${lim}_{n \to + \infty} \frac{c}{n^{k}} = 0$
${lim}_{n \to + \infty} c = c$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

$| \frac{1}{2} | < 1$ nên giới hạn ở A bằng 0, không phải $+ \infty$ .

Câu 4.

Phát biểu nào sau đây là sai?

$lim u_{n} = c$ ( $u_{n} = c$ là hằng số)
$lim q^{n} = 0$ ( $| q | > 1$ )
$lim \frac{1}{n} = 0$
$lim \frac{1}{n^{k}} = 0$ ( $k > 1$ )

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Điều kiện để $q^{n} \to 0$ là $| q | < 1$ . Với $q = 2$ , dãy $2^{n}$ tiến tới $+ \infty$ , nên B sai.

Câu 5.

Nếu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 3$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = - 2$ thì ${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} \cdot v_{n})$ bằng

$1$
$- 6$
$6$
$- 1$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Quy tắc tích cho $3 \cdot (- 2) = - 6$ .

Câu 6.

Cho dãy số $(u_{n})$ thỏa mãn $lim (2 + u_{n}) = 3$ . Giá trị của $lim (u_{n})$ bằng

$- 1$
$1$
$5$
$3$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

$u_{n} = (2 + u_{n}) - 2 \to 3 - 2 = 1$ .

Câu 7.

Nếu $lim u_{n} = L$ thì $lim \sqrt{u_{n} + 25}$ bằng

$\sqrt{L + 25}$
$\sqrt{L} + 5$
$L + 5$
$L + 25$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Biểu thức căn thức trong đề được hiểu là xác định kể từ một chỉ số trở đi, tức $u_{n} + 25 \geq 0$ khi $n$ đủ lớn. Khi đó $L + 25 \geq 0$ và tính liên tục của căn bậc hai cho giới hạn $\sqrt{L + 25}$ .

Câu 8.

Giá trị của ${lim}_{n \to + \infty} \frac{- 2 n^{3} + 7 n^{2} + 1}{3 n^{3} + 2 n^{2} + 1}$ bằng

$\frac{7}{3}$
$- \frac{2}{3}$
$0$
$1$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Chia tử và mẫu cho $n^{3}$ , lấy tỉ số hệ số bậc cao nhất: $- \frac{2}{3}$ .

Câu 9.

Giá trị của ${lim}_{n \to + \infty} \frac{n - 1}{n^{3} + 3}$ bằng

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu. Chia cho $n^{3}$ được giới hạn 0.

Câu 10.

Cho $a, b$ là các số thực dương. Giá trị $lim \frac{\sqrt{a n^{2} - 3 n} + b n}{n + 1}$ bằng

$a + b$
$\sqrt{a} + b$
$\sqrt{a}$
$b$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Với $n > 0$ đủ lớn, chia tử và mẫu cho $n$ : $\frac{\sqrt{a - 3 / n} + b}{1 + 1 / n} \to \sqrt{a} + b$ .

Câu 11.

Giá trị của ${lim}_{n \to + \infty} (\sqrt{n^{2} - 3 n + 1} - n)$ bằng

$- 3$
$- \frac{3}{2}$
$0$
$+ \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Nhân liên hợp được $\frac{- 3 n + 1}{\sqrt{n^{2} - 3 n + 1} + n} = \frac{- 3 + 1 / n}{\sqrt{1 - 3 / n + 1 / n^{2}} + 1} \to - \frac{3}{2}$ .

Câu 12.

Cho hai dãy số $(u_{n})$ và $(v_{n})$ với $u_{n} = 2 n + 1, v_{n} = \frac{1}{1 - n}$ . Khi đó ${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} \cdot v_{n})$ bằng

$0$
$2$
$- 2$
$+ \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

$\frac{2 n + 1}{1 - n} = \frac{2 + 1 / n}{1 / n - 1} \to - 2$ . Dãy xét từ $n \geq 2$ ; số hạng đầu không ảnh hưởng giới hạn.

Câu 13.

$lim (\frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \dots + \frac{n}{n^{2}})$ bằng

$1$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

$\frac{1 + 2 + \dots + n}{n^{2}} = \frac{n (n + 1)}{2 n^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 n} \to \frac{1}{2}$ .

Câu 14.

Giới hạn $lim \frac{\sin n + 1}{n}$ bằng

$+ \infty$
$1$
$- \infty$
$0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

$0 \leq \frac{\sin n + 1}{n} \leq \frac{2}{n} \to 0$ . Dùng định lí kẹp.

Câu 15.

Giá trị của giới hạn $lim (4 + \frac{(- 1)^{n}}{n + 1})$ bằng

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

$| \frac{(- 1)^{n}}{n + 1} | = \frac{1}{n + 1} \to 0$ , nên giới hạn là 4.

Câu 16.

Giá trị của $lim (5 - \frac{\cos n}{n^{2} + 1})$ bằng

$+ \infty$
$4$
$5$
$0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

$| \frac{\cos n}{n^{2} + 1} | \leq \frac{1}{n^{2} + 1} \to 0$ , nên giới hạn là 5.

Câu 17.

Cho ${lim}_{n \to + \infty} \frac{a n + 1}{2 n - 4} = - 5$ , giá trị của $a$ là

$- 10$
$1$
$0$
$6$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

Giới hạn bằng $a / 2$ . Do đó $a / 2 = - 5 ⟹ a = - 10$ .

Câu 18.

Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân có công bội $q$ thỏa mãn

$q > 1$
$| q | < 1$
$q < 0$
$q = 1$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

Theo định nghĩa, điều kiện là $| q | < 1$ .

Câu 19.

Cho cấp số nhân lùi vô hạn có $u_{1} = 2$ và công bội $q = \frac{1}{3}$ . Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đã cho bằng

$6$
$\frac{3}{2}$
$3$
$\frac{2}{3}$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

$S = \frac{u_{1}}{1 - q} = \frac{2}{1 - 1 / 3} = 3$ .

Câu 20.

Tổng $S = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots$ bằng

$1$
$2$
$\frac{3}{2}$
$+ \infty$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án B.

$S = \frac{1}{1 - 1 / 2} = 2$ .

Câu 21.

Cho ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = a > 0$ . Giá trị của ${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} \cdot v_{n})$ bằng

$0$
$- \infty$
$+ \infty$
$a$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Với $n$ đủ lớn, $v_{n} > a / 2 > 0$ ; vì $u_{n} \to + \infty$ nên tích tiến tới $+ \infty$ .

Câu 22.

Cho ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = - 7$ và ${lim}_{n \to + \infty} | v_{n} | = + \infty$ . Khi đó ${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}}$ bằng

$+ \infty$
$- \infty$
$1$
$0$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án D.

$\frac{1}{v_{n}} \to 0$ và $u_{n} \to - 7$ , nên thương tiến tới 0.

Câu 23.

Cho $lim u_{n} = + \infty$ và $lim v_{n} = a$ với $a$ là một số thực. Xét các mệnh đề sau:

$lim (u_{n} \cdot v_{n}) = + \infty$ .
$lim (u_{n} - v_{n}) = + \infty$ .
Nếu $a = 0$ thì $lim (u_{n} \cdot v_{n}) = 0$ .
$lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$ .

Trong các mệnh đề trên, có bao nhiêu mệnh đề sai?

Xem đáp án và giải thích

Đáp án C.

Chỉ (ii) luôn đúng vì $v_{n}$ có giới hạn hữu hạn. (i) và (iv) sai, chẳng hạn $u_{n} = n, v_{n} = - 1$ cho tích và thương tiến tới $- \infty$ . (iii) sai: lấy $u_{n} = n, v_{n} = 1 / n$ thì tích bằng 1. Có 3 mệnh đề sai.

Câu 24.

Mệnh đề nào sau đây đúng?

${lim}_{n \to + \infty} (2025 n - n^{2}) = - \infty$
${lim}_{n \to + \infty} (2025 n - n^{2}) = 2025$
${lim}_{n \to + \infty} (2025 n + n^{2}) = - \infty$
${lim}_{n \to + \infty} (2025 n + n^{2}) = 2025$

Xem đáp án và giải thích

Đáp án A.

$2025 n - n^{2} = n^{2} (\frac{2025}{n} - 1) \to - \infty$ . Còn $2025 n + n^{2} \to + \infty$ .

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

Câu 25.

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{2 n + 1}{n}$ .

Có thể viết $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ .
${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} - 2) = 0$ .
${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 2$ .
$u_{n} = 2$ với một giá trị $n$ nào đó.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Chia tử cho $n$ được $u_{n} = 2 + \frac{1}{n}$ .
$u_{n} - 2 = \frac{1}{n} \to 0$ .
$u_{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2$ .
Với mọi số nguyên dương $n$ , $1 / n > 0$ nên $u_{n} > 2$ .

Câu 26.

Cho hai dãy số $(u_{n}), (v_{n})$ với $u_{n} = \frac{2 n^{2} - 4 n + 7}{8 n^{2} + 3 n + 1}, v_{n} = \frac{\sqrt{4 n^{2} + 5}}{8 n}$ .

${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 7$ .
${lim}_{n \to + \infty} (v_{n} - \frac{1}{4}) = 0$ .
${lim}_{n \to + \infty} (2 u_{n} - 4 v_{n}) = 0$ .
${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{2 v_{n}} = \frac{1}{2}$ .

Xem đáp án và giải thích

a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng

Ta có $u_{n} \to \frac{1}{4}, v_{n} = \frac{\sqrt{4 + 5 / n^{2}}}{8} \to \frac{1}{4}$ . Vì thế:

Giới hạn $u_{n}$ là $\frac{1}{4}$ , không phải 7.
$v_{n} - \frac{1}{4} \to 0$ .
$2 u_{n} - 4 v_{n} \to 2 \cdot \frac{1}{4} - 4 \cdot \frac{1}{4} = - \frac{1}{2}$ .
$\frac{u_{n}}{2 v_{n}} \to \frac{1 / 4}{2 \cdot 1 / 4} = \frac{1}{2}$ .

Câu 27.

Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{5 - 3 n}{2 n + 1}$ .

Có thể viết $u_{n} = - \frac{3}{2} + \frac{13}{2 (2 n + 1)}$ .
${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} + \frac{3}{2}) = 0$ .
${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = - \frac{3}{2}$ .
Dãy số $(u_{n})$ tăng.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Chia đa thức được $u_{n} = - \frac{3}{2} + \frac{13}{2 (2 n + 1)}$ . Hạng sau dương, giảm theo $n$ và tiến tới 0.

Do đó a), b), c) đúng. Dãy $(u_{n})$ giảm nghiêm ngặt, nên d) sai.

Câu 28.

Một bệnh nhân mỗi ngày uống một liều thuốc chứa 100 mg hoạt chất; sau mỗi ngày cơ thể chỉ giữ lại 25% lượng hoạt chất của ngày trước. Gọi $A_{n}$ là lượng hoạt chất trong máu ngay sau liều thứ $n$ .

$A_{1} = 100$ mg và $A_{2} = 125$ mg.
$A_{n} = \frac{100 (1 - (0, 25)^{n})}{1 - 0, 25}$ .
${lim}_{n \to + \infty} A_{n} = \frac{400}{3} \approx 133, 33$ mg.
Lượng hoạt chất trong máu tăng vô hạn theo thời gian.

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai

Ta có $A_{1} = 100, A_{n + 1} = 100 + 0, 25 A_{n}$ . Suy ra $A_{2} = 125$ và $A_{n} = 100 (1 + 0, 25 + \dots + 0, 25^{n - 1}) = \frac{100 (1 - 0, 25^{n})}{1 - 0, 25}$ .

Vì $0, 25^{n} \to 0$ , $A_{n} \to \frac{400}{3} \approx 133, 33$ mg. Dãy tăng nhưng bị chặn bởi $\frac{400}{3}$ , nên không tăng vô hạn.

Câu 29.

Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

Nếu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = + \infty$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = a > 0$ thì ${lim}_{n \to + \infty} (u_{n} v_{n}) = + \infty$ .
Nếu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = a > 0$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = 0$ thì ${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = + \infty$ .
Nếu ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = a \neq 0$ và ${lim}_{n \to + \infty} v_{n} = + \infty$ thì ${lim}_{n \to + \infty} \frac{u_{n}}{v_{n}} = 0$ .
${lim}_{n \to + \infty} q^{n} = 0$ , ( $| q | < 1$ ).

Xem đáp án và giải thích

a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Đúng

Một dãy tiến tới $+ \infty$ nhân với dãy có giới hạn dương sẽ tiến tới $+ \infty$ .
Thiếu điều kiện dấu của mẫu. Lấy $u_{n} = 1$ , $v_{n} = - 1 / n$ thì $v_{n} \to 0$ nhưng $u_{n} / v_{n} = - n \to - \infty$ .
Tử có giới hạn hữu hạn, mẫu tiến tới $+ \infty$ nên thương tiến tới 0.
Đây là giới hạn cơ bản của cấp số nhân có $| q | < 1$ .

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của dãy số

Giới hạn 0

Định nghĩa: ${lim}_{n \to + \infty} u_{n} = 0$ : $| u_{n} |$ nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Cơ bản: ${lim}_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{k}} = 0$ ( $k \in N^{*}$ ); $lim q^{n} = 0$ ( $| q | < 1$ ).

Kẹp: $| u_{n} | \leq v_{n}$ với mọi $n$ và $lim v_{n} = 0 ⟹ lim u_{n} = 0$ .

u_{n} = \frac{2 (- 1)^{n}}{n} \to 0

Giới hạn hữu hạn $a$

Định nghĩa: $lim u_{n} = a ⟺ lim (u_{n} - a) = 0$ .

Dãy hằng: $u_{n} = c ⟹ lim u_{n} = c$ .

Định lí về giới hạn hữu hạn

Nếu $lim u_{n} = a, lim v_{n} = b$ thì

lim (u_{n} \pm v_{n}) = a \pm b; lim (u_{n} v_{n}) = a b; lim \frac{u_{n}}{v_{n}} = \frac{a}{b} (b \neq 0) .

$u_{n} \geq 0, lim u_{n} = a ⟹ a \geq 0, lim \sqrt{u_{n}} = \sqrt{a}$ .

Kĩ thuật: Dạng phân thức: chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ .

Cấp số nhân lùi vô hạn

Định nghĩa: Cấp số nhân lùi vô hạn là cấp số nhân vô hạn có công bội $| q | < 1$ .

S_{n} = \frac{u_{1} (1 - q^{n})}{1 - q}, q^{n} \to 0 ⟹ S = u_{1} + u_{2} + \dots = \frac{u_{1}}{1 - q} .

Giới hạn vô cực

Định nghĩa: $lim u_{n} = + \infty$ : $u_{n}$ lớn hơn một số dương lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó. $lim u_{n} = - \infty ⟺ lim (- u_{n}) = + \infty$ .

lim n^{k} = + \infty (k \in N^{*}); lim q^{n} = + \infty (q > 1) .

lim | u_{n} | = + \infty ⟹ lim \frac{1}{u_{n}} = 0 .

E. Học & Thi

Em làm các câu hỏi trong bài, rồi mở hướng dẫn giải để đối chiếu từng bước. Em có thể luyện thêm với bộ 26 câu trên Học & Thi.

Luyện tập trên Học & Thi

Giới hạn của dãy số Toán 11 – Lý thuyết, công thức và bài tập

A. Lý thuyết

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

4. Giới hạn vô cực

B. Ví dụ

C. Bài tập

Phần 1. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn

Phần 2. Câu trắc nghiệm đúng – sai

D. Sơ đồ tư duy

Sơ đồ tư duy – Giới hạn của dãy số

Giới hạn 0

Giới hạn hữu hạn a

Định lí về giới hạn hữu hạn

Cấp số nhân lùi vô hạn

Giới hạn vô cực

E. Học & Thi

Giới hạn hữu hạn $a$