Toán 11 Bài 21: Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit

Phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit – Toán 11 Bài 21 – Gia Sư SV

Muốn giải đúng phương trình mũ và lôgarit, hãy làm theo ba bước: đặt điều kiện, đưa về dạng so sánh đơn giản, rồi kiểm lại nghiệm.

Mục tiêu: Giải các dạng cơ bản, cùng cơ số và đặt ẩn phụ; xử lí đúng chiều bất phương trình.

Kiến thức nền: lũy thừa, phương trình và bất phương trình cơ bản.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Phương trình cơ bản

Với $a > 0$ , $a \neq 1$ : $a^{x} = b$ có nghiệm duy nhất $x = \log_{a} b$ nếu $b > 0$ , vô nghiệm nếu $b \leq 0$ . $\log_{a} x = b \Leftrightarrow x = a^{b}$ . Khi hai vế cùng cơ số hợp lệ, $a^{u} = a^{v} \Leftrightarrow u = v$ .

Ghi nhớ: chiều bất phương trình

Với $a > 1$ , $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u > v$ . Với $0 < a < 1$ , $a^{u} > a^{v} \Leftrightarrow u < v$ . Tương tự cho lôgarit nhưng phải có $u > 0, v > 0$ . Riêng $a^{x} > b$ với $b \leq 0$ đúng với mọi $x$ ; không lấy lôgarit của số không dương.

Đặt ẩn phụ và kiểm nghiệm

Phương trình chứa $a^{2 x}$ và $a^{x}$ thường đặt $t = a^{x} > 0$ . Giải phương trình theo $t$ , loại nghiệm $t \leq 0$ , rồi quay lại tìm $x$ . Với phương trình lôgarit, nghiệm của phương trình sau biến đổi phải nằm trong miền xác định ban đầu. Dấu bằng trong bất phương trình quyết định có lấy đầu mút hay không.

Hai đồ thị dùng cùng tỉ lệ hai trục. Hàm mũ đi qua (0;1); hàm lôgarit đi qua (1;0).

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Đặt ẩn phụ

Giải $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ .

Đặt $t = 2^{x} > 0$ , được $t^{2} - 5 t + 4 = 0$ .
$(t - 1) (t - 4) = 0$ , suy ra $t = 1$ hoặc $t = 4$ .
$2^{x} = 1$ hoặc $2^{x} = 4$ , nên $x = 0$ hoặc $x = 2$ .

Ví dụ 2. Lôgarit và nghiệm ngoại lai

Giải $\log_{2} (x - 1) + \log_{2} (x - 3) = 3$ .

Điều kiện $x > 3$ .
Gộp tích: $(x - 1) (x - 3) = 8$ , suy ra $x^{2} - 4 x - 5 = 0$ .
$x = 5$ hoặc $x = - 1$ ; chỉ $x = 5$ thỏa điều kiện.

Ví dụ 3. Bất phương trình cơ số nhỏ hơn 1

Giải $\log_{1 / 2} (x - 1) \geq - 2$ .

Điều kiện $x > 1$ .
Vì cơ số nhỏ hơn 1: $x - 1 \leq (1 / 2)^{- 2} = 4$ .
Kết hợp điều kiện: $1 < x \leq 5$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Luôn đặt điều kiện đối số dương.
Cơ số thuộc (0;1): đảo chiều bất phương trình.
Không nhận nghiệm ẩn phụ không dương.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Giải $\log_{2} (x - 2) = 1$ . Nhập nghiệm $x$ .

Xem lời giải

$x > 2$ . Ta có $x - 2 = 2$ , nên $x = 4$ thỏa điều kiện.

Bài tự luyện 2

Giải $\log_{2} (x - 3) = 1$ . Nhập nghiệm $x$ .

Xem lời giải

$x > 3$ . Ta có $x - 3 = 2$ , nên $x = 5$ thỏa điều kiện.

Bài tự luyện 3

Giải $\log_{2} (x - 4) = 1$ . Nhập nghiệm $x$ .

Xem lời giải

$x > 4$ . Ta có $x - 4 = 2$ , nên $x = 6$ thỏa điều kiện.

Bài tự luyện 4

Giải $\log_{2} (x - 5) = 1$ . Nhập nghiệm $x$ .

Xem lời giải

$x > 5$ . Ta có $x - 5 = 2$ , nên $x = 7$ thỏa điều kiện.

Bài tự luyện 5

Giải $9^{x} - 10 \cdot 3^{x} + 9 = 0$ .

Xem lời giải

Đặt $t = 3^{x} > 0$ . Ta có $t^{2} - 10 t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 9$ . Suy ra $x = 0$ hoặc $x = 2$ ; cả hai đều thỏa.

Bài tự luyện 6

Giải $\log_{2} (x - 1) < 3$ .

Xem lời giải

Điều kiện $x > 1$ . Vì cơ số 2 lớn hơn 1, bất phương trình tương đương $x - 1 < 8$ , tức $x < 9$ . Vậy $1 < x < 9$ .

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.