Toán 11 Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc – Toán 11 Bài 22 – Gia Sư SV

Trong không gian, hai đường thẳng có thể vuông góc dù không cắt nhau. Ta đo góc bằng cách đưa hai phương về cùng một điểm.

Mục tiêu: Dựng góc giữa hai đường thẳng; dùng song song để đưa về góc phẳng; phân biệt vuông góc và cắt nhau.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Góc giữa hai đường thẳng

Qua một điểm O, dựng hai đường thẳng lần lượt song song hoặc trùng với a và b. Góc giữa a và b là góc không vượt quá $90^{\circ}$ giữa hai đường vừa dựng. Vì vậy góc giữa hai đường luôn thuộc $[0^{\circ}; 90^{\circ}]$ ; với hai đường song song, góc bằng $0^{\circ}$ .

Ghi nhớ: định nghĩa vuông góc

Hai đường thẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ , kí hiệu $a ⟂ b$ . Chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Nếu $a ∥ a^{'}$ thì góc giữa a và b bằng góc giữa $a^{'}$ và b. Đây là cách đưa góc không gian về một tam giác đã biết.

Phương pháp tìm góc

Bước 1: tìm một đường song song để đưa hai phương về cùng mặt phẳng. Bước 2: chỉ ra tam giác và tính góc bằng vuông, đều, cân hoặc lượng giác. Bước 3: nếu góc vừa tính là góc tù, lấy góc bù để được góc không vượt $90^{\circ}$ . Không kết luận từ hình vẽ phối cảnh.

B′C′ song song BC, còn AB vuông góc BC. Vì vậy AB và B′C′ vuông góc dù chéo nhau.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Góc trong hình lập phương

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Tìm góc giữa $A B$ và $B^{'} C^{'}$ .

$B^{'} C^{'} ∥ B C$ .
$A B ⟂ B C$ vì đáy là hình vuông.
Góc cần tìm bằng $90^{\circ}$ , dù $A B$ và $B^{'} C^{'}$ chéo nhau.

Ví dụ 2. Góc giữa đường chéo và cạnh

Trong hình lập phương trên, tìm góc giữa $A C$ và $A^{'} B^{'}$ .

$A^{'} B^{'} ∥ A B$ .
Đường chéo $A C$ của hình vuông tạo với $A B$ góc $45^{\circ}$ .
Vậy góc giữa hai đường bằng $45^{\circ}$ .

Ví dụ 3. Chọn góc nhỏ hơn

Hai đường cắt nhau tạo một góc $125^{\circ}$ . Tìm góc giữa hai đường.

Góc còn lại bằng $180^{\circ} - 125^{\circ} = 55^{\circ}$ .
Góc giữa hai đường là $55^{\circ}$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Góc giữa hai đường không vượt 90°.
Vuông góc không bắt buộc cắt nhau trong không gian.
Hai đường cùng vuông góc một đường chưa chắc song song.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Hai đường tạo góc 100°. Nhập số đo góc giữa hai đường theo độ.

Xem lời giải

Góc cần lấy là 180° − 100° = 80°.

Bài tự luyện 2

Hai đường tạo góc 115°. Nhập số đo góc giữa hai đường theo độ.

Xem lời giải

Góc cần lấy là 180° − 115° = 65°.

Bài tự luyện 3

Hai đường tạo góc 140°. Nhập số đo góc giữa hai đường theo độ.

Xem lời giải

Góc cần lấy là 180° − 140° = 40°.

Bài tự luyện 4

Hai đường tạo góc 160°. Nhập số đo góc giữa hai đường theo độ.

Xem lời giải

Góc cần lấy là 180° − 160° = 20°.

Bài tự luyện 5

Cho hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Một bạn khẳng định $A B ⟂ C^{'} D$ . Khẳng định đúng hay sai? Giải thích.

Xem lời giải

Ta có $A B ∥ D C$ . Trong hình vuông DCC′D′, DC′ là đường chéo tạo với DC góc 45°. Vì vậy góc giữa AB và DC′ bằng 45°, nên khẳng định sai.

Bài tự luyện 6

Trong hình lập phương $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , tính góc giữa $A B^{'}$ và $D C^{'}$ .

Xem lời giải

Hai đoạn là hai đường chéo tương ứng của các mặt song song ABB′A′ và DCC′D′. Ta có $A B^{'} ∥ D C^{'}$ , nên góc bằng 0°.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.