Toán 11 Bài 23: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng – Toán 11 Bài 23 – Gia Sư SV

Một cột thẳng đứng không chỉ vuông góc với một vạch trên sàn. Nó phải vuông góc với mọi phương trên sàn; tiêu chuẩn hai đường cắt nhau giúp chứng minh điều đó gọn hơn.

Mục tiêu: Áp dụng đúng tiêu chuẩn hai đường cắt nhau; tìm đường cao; dùng quan hệ song song và vuông góc.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Định nghĩa

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng $(P)$ nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ . Khi d cắt $(P)$ tại H, H là chân đường vuông góc. Nếu A nằm ngoài $(P)$ , qua A có duy nhất một đường vuông góc với $(P)$ .

Ghi nhớ: tiêu chuẩn chứng minh

Nếu $a, b \subset (P)$ , a và b cắt nhau, đồng thời $d ⟂ a$ , $d ⟂ b$ thì $d ⟂ (P)$ . Điều kiện a và b cắt nhau không được bỏ. Ngược lại, từ $d ⟂ (P)$ có thể suy ra d vuông góc với từng đường trong $(P)$ .

Quan hệ với song song

Nếu $d ⟂ (P)$ và $d^{'} ∥ d$ thì $d^{'} ⟂ (P)$ . Hai đường phân biệt cùng vuông góc một mặt phẳng thì song song. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc một đường thì song song. Mặt phẳng trung trực của đoạn AB đi qua trung điểm, vuông góc AB và gồm các điểm cách đều A, B.

SA là đường cao; AC là hình chiếu của SC trên đáy. Nét đứt biểu diễn các đoạn khuất trong góc nhìn này.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Chứng minh vuông góc mặt phẳng

Hình chóp S.ABC có $S A ⟂ A B$ và $S A ⟂ A C$ . Chứng minh $S A ⟂ (A B C)$ .

$A B, A C$ cùng nằm trong $(A B C)$ và cắt nhau tại A.
SA vuông góc cả hai đường đó.
Theo tiêu chuẩn, $S A ⟂ (A B C)$ .

Ví dụ 2. Từ mặt phẳng đến đường thẳng

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh $B C ⟂ (S A B)$ .

$B C ⟂ A B$ do tam giác ABC vuông tại B.
$B C ⟂ S A$ do $S A ⟂ (A B C)$ .
$A B, S A$ cắt nhau và nằm trong $(S A B)$ , nên $B C ⟂ (S A B)$ .

Ví dụ 3. Tính cạnh bên

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 6$ , $A B = 8$ . Tính SB.

$S A ⟂ A B$ nên tam giác SAB vuông tại A.
$S B = \sqrt{S A^{2} + A B^{2}} = \sqrt{36 + 64} = 10$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Phải chọn hai đường cắt nhau trong đúng mặt phẳng.
Một đường vuông góc một cạnh đáy chưa đủ là đường cao.
Nêu rõ chân vuông góc trước khi tính độ dài.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 5$ , $A B = 12$ . Tính SB.

Xem lời giải

$S B = \sqrt{(5)^{2} + (12)^{2}} = 13$ .

Bài tự luyện 2

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 10$ , $A B = 24$ . Tính SB.

Xem lời giải

$S B = \sqrt{(10)^{2} + (24)^{2}} = 26$ .

Bài tự luyện 3

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 15$ , $A B = 36$ . Tính SB.

Xem lời giải

$S B = \sqrt{(15)^{2} + (36)^{2}} = 39$ .

Bài tự luyện 4

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 20$ , $A B = 48$ . Tính SB.

Xem lời giải

$S B = \sqrt{(20)^{2} + (48)^{2}} = 52$ .

Bài tự luyện 5

Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật và $S A ⟂ (A B C D)$ . Chứng minh $B C ⟂ (S A B)$ .

Xem lời giải

Có $B C ⟂ A B$ do đáy hình chữ nhật và $B C ⟂ S A$ do SA vuông góc đáy. Hai đường AB, SA cắt nhau trong (SAB), nên $B C ⟂ (S A B)$ .

Bài tự luyện 6

Cho $S A ⟂ (A B C)$ và $A B ⟂ B C$ . Chứng minh tam giác SBC vuông tại B.

Xem lời giải

Từ $B C ⟂ A B$ và $B C ⟂ S A$ , suy ra $B C ⟂ (S A B)$ . Vì $S B \subset (S A B)$ nên $B C ⟂ S B$ . Vậy tam giác SBC vuông tại B.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.