Toán 11 Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng với mặt phẳng – Toán 11 Bài 24 – Gia Sư SV

Muốn đo độ nghiêng của một đoạn thẳng so với mặt đất, cần so nó với hình chiếu của chính nó trên mặt đất.

Mục tiêu: Dựng hình chiếu; nhận diện góc đường–mặt; sử dụng định lí ba đường vuông góc.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Phép chiếu vuông góc

Hình chiếu của A lên $(P)$ là chân H của đường vuông góc qua A. Nếu A thuộc $(P)$ thì hình chiếu là A. Một đường không vuông góc $(P)$ có hình chiếu là đường thẳng; đường vuông góc $(P)$ có hình chiếu là một điểm.

Ghi nhớ: góc đường thẳng–mặt phẳng

Nếu d không vuông góc $(P)$ , góc giữa d và $(P)$ là góc giữa d và hình chiếu của d lên $(P)$ . Nếu $d ⟂ (P)$ , góc bằng $90^{\circ}$ ; nếu d nằm trong hoặc song song $(P)$ , góc bằng $0^{\circ}$ . Khi $A H ⟂ (P)$ và $B \in (P)$ , góc của AB với $(P)$ là $\hat{A B H}$ , không phải $\hat{B A H}$ .

Định lí ba đường vuông góc

Cho đường xiên d có hình chiếu $d^{'}$ trên $(P)$ và đường $a \subset (P)$ . Khi đó $a ⟂ d \Leftrightarrow a ⟂ d^{'}$ . Trong tam giác AHB vuông tại H, $\sin α = \frac{A H}{A B}$ , $\tan α = \frac{A H}{B H}$ , với $α$ là góc AB và $(P)$ .

SA là đường cao; AC là hình chiếu của SC trên đáy. Nét đứt biểu diễn các đoạn khuất trong góc nhìn này.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Gọi tên góc

Cho $S A ⟂ (A B C)$ . Tìm góc giữa SC và $(A B C)$ .

Hình chiếu S là A; C nằm trên đáy nên giữ nguyên.
Hình chiếu SC là AC. Góc cần tìm là $\hat{S C A}$ .

Ví dụ 2. Tính góc

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = A C = 4$ . Tính góc giữa SC và đáy.

Tam giác SAC vuông tại A và có hai cạnh góc vuông bằng nhau.
$\hat{S C A} = 45^{\circ}$ .

Ví dụ 3. Chiều dài hình chiếu

Đoạn AB dài 10 m, tạo với mặt phẳng ngang góc $60^{\circ}$ . Tính độ dài hình chiếu của AB.

Độ dài chiếu là $10 \cos 60^{\circ} = 5$ m.
Độ chênh cao hai đầu là $10 \sin 60^{\circ} = 5 \sqrt{3}$ m.

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Góc cần tìm nằm ở giao điểm với mặt phẳng.
Phải chứng minh hình chiếu trước khi gọi tên góc.
Không chọn một cạnh đáy tùy ý thay cho hình chiếu.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Đoạn thẳng dài 8, tạo với mặt phẳng ngang góc $30^{\circ}$ . Độ chênh cao hai đầu bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$h = 8 \sin 30^{\circ} = 4$ .

Bài tự luyện 2

Đoạn thẳng dài 12, tạo với mặt phẳng ngang góc $30^{\circ}$ . Độ chênh cao hai đầu bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$h = 12 \sin 30^{\circ} = 6$ .

Bài tự luyện 3

Đoạn thẳng dài 16, tạo với mặt phẳng ngang góc $30^{\circ}$ . Độ chênh cao hai đầu bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$h = 16 \sin 30^{\circ} = 8$ .

Bài tự luyện 4

Đoạn thẳng dài 20, tạo với mặt phẳng ngang góc $30^{\circ}$ . Độ chênh cao hai đầu bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$h = 20 \sin 30^{\circ} = 10$ .

Bài tự luyện 5

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $A B = 3$ , $S A = 3 \sqrt{3}$ . Tính góc giữa SB và đáy.

Xem lời giải

Hình chiếu SB là AB nên góc cần tìm là SBA. Trong tam giác SAB vuông tại A, $\tan \hat{S B A} = S A / A B = \sqrt{3}$ . Suy ra góc bằng 60°.

Bài tự luyện 6

Cho $S A ⟂ (A B C)$ và $B C ⟂ A C$ . Chứng minh $B C ⟂ S C$ .

Xem lời giải

AC là hình chiếu của SC lên đáy. Vì BC nằm trong đáy và vuông góc AC nên theo định lí ba đường vuông góc, $B C ⟂ S C$ .

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.