Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc – Toán 11 Bài 25 – Gia Sư SV

Góc giữa hai mái nhà hay hai mặt tường là góc giữa hai mặt phẳng. Để đo góc ấy, phải dựng hai đường cùng vuông góc với giao tuyến.

Mục tiêu: Nhận biết góc nhị diện và góc giữa hai mặt phẳng; chứng minh hai mặt vuông góc; nhận dạng lăng trụ đứng và chóp đều.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Góc nhị diện và góc hai mặt phẳng

Một góc nhị diện gồm hai nửa mặt phẳng chung bờ. Chọn O trên bờ, dựng trong mỗi nửa mặt phẳng một tia gốc O vuông góc bờ; góc giữa hai tia là góc phẳng nhị diện, thuộc $[0^{\circ}; 180^{\circ}]$ . Góc giữa hai mặt phẳng là góc không vượt $90^{\circ}$ ; không nhầm hai khái niệm.

Ghi nhớ: tiêu chuẩn vuông góc

Hai mặt phẳng vuông góc khi góc giữa chúng bằng $90^{\circ}$ . Nếu một mặt phẳng chứa một đường vuông góc mặt phẳng kia thì hai mặt phẳng vuông góc. Nếu $(P) ⟂ (Q)$ theo giao tuyến d, đường a nằm trong $(P)$ và vuông góc d thì $a ⟂ (Q)$ .

Các hình không gian thường gặp

Lăng trụ đứng có các cạnh bên vuông góc đáy; mặt bên là hình chữ nhật. Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Hình chóp đều có đáy là đa giác đều và chân đường cao là tâm đáy; các cạnh bên bằng nhau, các mặt bên là tam giác cân. Trung đoạn của chóp đều nối đỉnh với trung điểm một cạnh đáy. Chóp cụt đều có hai đáy là hai đa giác đều đồng dạng, các mặt bên là hình thang cân.

O là tâm đáy; M là trung điểm AB. SM và OM cùng vuông góc AB; góc SMO là góc giữa mặt bên (SAB) và đáy.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Tiêu chuẩn trực tiếp

Cho $S A ⟂ (A B C D)$ . Chứng minh $(S A B) ⟂ (A B C D)$ .

$S A \subset (S A B)$ và $S A ⟂ (A B C D)$ .
Mặt phẳng (SAB) chứa một đường vuông góc đáy, nên hai mặt phẳng vuông góc.

Ví dụ 2. Chóp đều và góc mặt bên

Chóp tứ giác đều S.ABCD có tâm đáy O, M là trung điểm AB. Xác định góc giữa (SAB) và đáy.

Tam giác SAB cân nên $S M ⟂ A B$ .
Trong hình vuông, $O M ⟂ A B$ .
Góc giữa mặt bên và đáy là $\hat{S M O}$ , góc nhọn của tam giác SOM vuông tại O.

Ví dụ 3. Tính góc từ chiều cao

Chóp tứ giác đều có cạnh đáy 6, chiều cao SO bằng 3. Tính góc giữa một mặt bên và đáy.

Với M là trung điểm cạnh đáy, $O M = 3$ .
$\tan \hat{S M O} = S O / O M = 1$ .
Góc bằng $45^{\circ}$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không lấy góc giữa hai đường bất kì trên hai mặt.
Góc phẳng nhị diện có thể tù; góc giữa hai mặt thì không.
Hai mặt vuông góc không làm mọi đường trên mặt này vuông góc mặt kia.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Đáy chóp tứ giác đều là hình vuông cạnh 6. Khoảng cách từ tâm đáy đến một cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Đoạn từ tâm đến trung điểm cạnh bằng nửa cạnh: 6/2=3.

Bài tự luyện 2

Đáy chóp tứ giác đều là hình vuông cạnh 10. Khoảng cách từ tâm đáy đến một cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Đoạn từ tâm đến trung điểm cạnh bằng nửa cạnh: 10/2=5.

Bài tự luyện 3

Đáy chóp tứ giác đều là hình vuông cạnh 14. Khoảng cách từ tâm đáy đến một cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Đoạn từ tâm đến trung điểm cạnh bằng nửa cạnh: 14/2=7.

Bài tự luyện 4

Đáy chóp tứ giác đều là hình vuông cạnh 18. Khoảng cách từ tâm đáy đến một cạnh đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

Đoạn từ tâm đến trung điểm cạnh bằng nửa cạnh: 18/2=9.

Bài tự luyện 5

Cho $S A ⟂ (A B C)$ . Chứng minh $(S A C) ⟂ (A B C)$ và giải thích vì sao điều này không buộc $S C ⟂ (A B C)$ .

Xem lời giải

Mặt (SAC) chứa SA vuông góc đáy nên hai mặt vuông góc. Tuy nhiên SC là đường xiên, hình chiếu là AC có độ dài dương, nên SC không vuông góc đáy. Muốn suy ra đường vuông góc phải thêm điều kiện vuông góc giao tuyến.

Bài tự luyện 6

Chóp tứ giác đều cạnh đáy $2 a$ , chiều cao $a \sqrt{3}$ ( $a > 0$ ). Tính góc mặt bên với đáy.

Xem lời giải

Gọi O là tâm đáy, M trung điểm một cạnh. Có $O M = a$ , $S M ⟂$ cạnh đáy và $O M ⟂$ cạnh đáy. Góc cần tìm là SMO; $\tan \hat{S M O} = a \sqrt{3} / a = \sqrt{3}$ , suy ra 60°.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.