Toán 11 Bài 26: Khoảng cách

Khoảng cách trong không gian – Toán 11 Bài 26 – Gia Sư SV

Khoảng cách luôn gắn với đoạn vuông góc ngắn nhất. Bài học tập trung vào dựng đúng chân vuông góc trước khi đưa về tính độ dài trong tam giác.

Mục tiêu: Tính khoảng cách điểm–đường, điểm–mặt, hai mặt song song và hai đường chéo nhau.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Điểm đến đường, điểm đến mặt

$d (A, d) = A H$ với H là chân đường vuông góc từ A tới d. $d (A, (P)) = A K$ với $A K ⟂ (P)$ , $K \in (P)$ . Nếu A nằm trên đường hoặc mặt đang xét, khoảng cách bằng 0. Muốn chứng minh AK là khoảng cách tới mặt, phải chứng minh AK vuông góc cả mặt, không chỉ một đường trên mặt.

Khoảng cách trong các trường hợp song song

Nếu $a ∥ (P)$ , khoảng cách giữa a và $(P)$ bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên a đến $(P)$ . Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm trên mặt này đến mặt kia. Chọn điểm thuận lợi để có tam giác vuông hoặc đường cao dễ tính.

Ghi nhớ: hai đường chéo nhau

Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung: hai đầu thuộc hai đường và đoạn ấy vuông góc cả hai. Có thể tìm mặt phẳng chứa một đường và song song đường kia, rồi tính khoảng cách đường–mặt. Trong tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b, đường cao xuống cạnh huyền là $h = \frac{a b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$ .

H thuộc (P) và AH vuông góc (P). Chỉ khi chứng minh đủ hai điều kiện này mới được dùng AH làm khoảng cách.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Điểm đến mặt phẳng

Cho $S A ⟂ (A B C)$ , $S A = 7$ . Tính $d (S, (A B C))$ .

A nằm trên đáy và SA vuông góc đáy.
Vậy khoảng cách bằng SA = 7.

Ví dụ 2. Khoảng cách đến mặt bên

Chóp S.ABC có $S A ⟂ (A B C)$ , $A B ⟂ B C$ , $S A = 3$ , $A B = 4$ . Tính $d (A, (S B C))$ .

$B C ⟂ S A$ và $B C ⟂ A B$ , nên $B C ⟂ (S A B)$ .
Trong (SAB), hạ $A H ⟂ S B$ . Vì BC vuông góc (SAB), $A H ⟂ B C$ .
AH vuông góc hai đường cắt nhau SB, BC trong (SBC), nên $A H ⟂ (S B C)$ .
$S B = 5$ và $A H = S A \cdot A B / S B = 12 / 5$ .

Ví dụ 3. Vuông góc chung trong hình hộp

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A D = 6$ . Tính khoảng cách giữa AB và $C C^{'}$ .

BC nối B thuộc AB với C thuộc CC′.
$B C ⟂ A B$ và $B C ⟂ C C^{'}$ .
BC là đoạn vuông góc chung nên khoảng cách bằng $B C = A D = 6$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Đường vuông góc chung phải có đúng hai đầu trên hai đường.
Đường xiên không phải khoảng cách điểm–mặt.
Không lấy cạnh bên chóp làm chiều cao nếu chưa chứng minh.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao $A A^{'} = 6$ . Khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$A A^{'}$ vuông góc hai đáy, nên khoảng cách bằng 6.

Bài tự luyện 2

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao $A A^{'} = 7$ . Khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$A A^{'}$ vuông góc hai đáy, nên khoảng cách bằng 7.

Bài tự luyện 3

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao $A A^{'} = 8$ . Khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$A A^{'}$ vuông góc hai đáy, nên khoảng cách bằng 8.

Bài tự luyện 4

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có chiều cao $A A^{'} = 9$ . Khoảng cách giữa hai mặt đáy bằng bao nhiêu?

Xem lời giải

$A A^{'}$ vuông góc hai đáy, nên khoảng cách bằng 9.

Bài tự luyện 5

Chóp S.ABC có $S A ⟂ (A B C)$ , $A B ⟂ B C$ , $S A = 6$ , $A B = 8$ . Tính $d (A, (S B C))$ .

Xem lời giải

$B C ⟂ (S A B)$ . Hạ AH vuông góc SB trong (SAB), khi đó AH vuông góc BC, nên AH vuông góc (SBC). $S B = 10$ , $A H = S A \cdot A B / S B = 48 / 10 = 24 / 5$ . Khoảng cách là $24 / 5$ .

Bài tự luyện 6

Hình hộp chữ nhật $A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ có $A B = 3$ , $A D = 4$ , $A A^{'} = 5$ . Tính khoảng cách giữa $A D$ và $B B^{'}$ .

Xem lời giải

AB nối A thuộc AD và B thuộc BB′. AB vuông góc AD và BB′ nên là đoạn vuông góc chung. Khoảng cách bằng AB=3; không dùng đường chéo hình hộp.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.