Toán 11 Bài 27: Thể tích

Cùng đáy và cùng chiều cao, thể tích khối chóp bằng một phần ba thể tích khối lăng trụ. Chọn đúng chiều cao là bước quyết định.

Mục tiêu: Tính thể tích lăng trụ, chóp, chóp cụt đều; suy ngược chiều cao; đổi đơn vị và vận dụng thực tế.

Kiến thức nền: quan hệ song song, tam giác vuông và tỉ số lượng giác.

1. Hiểu kiến thức và công thức

Ghi nhớ: lăng trụ và chóp

Với B là diện tích đáy, h là chiều cao vuông góc: $V_{lăng trụ} = B h$ , $V_{chóp} = \frac{1}{3} B h$ . Hình hộp chữ nhật có $V = a b c$ ; hình lập phương cạnh a có $V = a^{3}$ . Lăng trụ xiên dùng chiều cao vuông góc, không dùng độ dài cạnh bên.

Chóp cụt đều và phép đồng dạng

Chóp cụt đều có hai diện tích đáy $B_{1}, B_{2}$ và chiều cao h: $V = \frac{h}{3} (B_{1} + B_{2} + \sqrt{B_{1} B_{2}})$ . Công thức nhận được bằng cách lấy thể tích chóp lớn trừ chóp nhỏ đồng dạng. Khi các kích thước dài cùng nhân k, diện tích nhân $k^{2}$ , thể tích nhân $k^{3}$ .

Đơn vị và chọn đáy

Độ dài đo bằng cm thì diện tích đáy dùng cm², thể tích dùng cm³. $1 {d m}^{3} = 1$ lít và $1 m^{3} = 1000$ lít. Một tứ diện có thể chọn bất kì mặt nào làm đáy, nhưng phải ghép với chiều cao từ đỉnh đối diện xuống đúng mặt đáy đó. Biết V và B của chóp thì $h = 3 V / B$ .

Chiều cao trong cả hai công thức là khoảng cách vuông góc từ đỉnh hoặc đáy trên tới mặt phẳng đáy.

2. Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1. Chóp có đáy vuông

Chóp có đáy hình vuông cạnh 6 cm, chiều cao 8 cm. Tính thể tích.

$B = 6^{2} = 36$ cm².
$V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 96$ cm³.

Ví dụ 2. Chóp cụt đều

Chóp cụt đều có hai đáy vuông cạnh 4 dm và 2 dm, chiều cao 3 dm. Tính thể tích.

$B_{1} = 16$ , $B_{2} = 4$ , $\sqrt{B_{1} B_{2}} = 8$ .
$V = \frac{3}{3} (16 + 4 + 8) = 28$ dm³, tức 28 lít.

Ví dụ 3. Chiều cao từ cạnh bên

Chóp tứ giác đều có cạnh đáy $2 a$ , cạnh bên $a \sqrt{3}$ ( $a > 0$ ). Tính thể tích.

Tâm O cách đỉnh đáy A một đoạn $O A = a \sqrt{2}$ .
$S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = a$ .
$V = \frac{1}{3} (2 a)^{2} a = \frac{4}{3} a^{3}$ .

3. Sơ đồ ghi nhớ

4. Lỗi thường gặp

Không quên hệ số một phần ba của chóp.
Chiều cao phải vuông góc đáy.
Không đổi đơn vị thể tích theo hệ số đổi độ dài.

5. Tự luyện trước khi xem lời giải

Bài tự luyện 1

Hình lập phương cạnh 2 cm có thể tích bao nhiêu cm³?

Xem lời giải

$V = 2^{3} = 8$ cm³.

Bài tự luyện 2

Hình lập phương cạnh 3 cm có thể tích bao nhiêu cm³?

Xem lời giải

$V = 3^{3} = 27$ cm³.

Bài tự luyện 3

Hình lập phương cạnh 4 cm có thể tích bao nhiêu cm³?

Xem lời giải

$V = 4^{3} = 64$ cm³.

Bài tự luyện 4

Hình lập phương cạnh 5 cm có thể tích bao nhiêu cm³?

Xem lời giải

$V = 5^{3} = 125$ cm³.

Bài tự luyện 5

Chóp có đáy tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 6 cm, 8 cm và chiều cao chóp 9 cm. Tính thể tích.

Xem lời giải

Diện tích đáy $B = 6 \cdot 8 / 2 = 24$ cm². Thể tích $V = 24 \cdot 9 / 3 = 72$ cm³. Hai cạnh 6 và 8 thuộc tam giác đáy, còn 9 là chiều cao chóp.

Bài tự luyện 6

Một bể dạng chóp cụt đều có hai đáy vuông cạnh 6 dm và 4 dm, chiều cao 3 dm. Tính dung tích tối đa, bỏ qua độ dày thành.

Xem lời giải

$B_{1} = 36$ , $B_{2} = 16$ , $\sqrt{B_{1} B_{2}} = 24$ . $V = 3 (36 + 16 + 24) / 3 = 76$ dm³. Dung tích tối đa là 76 lít.

6. Luyện tập và kiểm tra cuối bài

Luyện tập gồm 16 câu: 8 trắc nghiệm, 2 nhóm đúng/sai, 4 trả lời ngắn và 2 tự luận. Kiểm tra cuối bài có 8 câu khác với bộ luyện. Tự luận cần trình bày lập luận; kết quả chấm tự động chỉ có tính tham khảo.

Luyện tập 16 câu Kiểm tra 8 câu

Sau khi làm bài, em hãy xem lại các câu sai, đối chiếu điều kiện trong khung ghi nhớ và tự giải lại ít nhất một bài cùng dạng.

Biên soạn: Gia Sư SV.